a_1＋…＋a_{n−1} に足し算して b_n の倍数になるような
最小の非負整数は「0以上 b_n 未満」になっている。
すなわち、0≦a_n＜b_n である。

また、a_1＋…＋a_{n−1}＝b_{n−1}c_{n−1} かつ a_1＋…＋a_n＝b_nc_n である。
さらに、a_1＋…＋a_n＝(a_1＋…＋a_{n−1})＋a_n である。よって

b_nc_n＝b_{n−1}c_{n−1}＋a_n

である。

b_{n−1}c_{n−1}＋a_n ＜ b_nc_{n−1}＋b_n＝b_n(c_{n−1}＋1)

なので b_nc_n＜b_n(c_{n−1}＋1) であり、よって c_n＜c_{n−1}＋1 であり、
よって c_n ≦ c_{n−1} である。