群$G$とその部分群$H$に対してコセット分解$G=\coprod_{g\in G}{gH}$がありましたが、$H$が任意の$g\in G$に対して$gH=Hg:=\{hg;h\in H\}$を満たすとき、$H$は$G$の\textbf{正規部分群}であると言います。このとき集合$G/H:=\{gH; g\in G\}$は群の演算$(gH,g'H)\mapsto gg'H$を持ちます。この群$G/H$を$G$の$H$による\textbf{商群}または\textbf{剰余群}と言います。例に上げた$n$次対称群$S_n$については$E_n$は正規部分群です。一般に、指数が2の部分群は正規部分群になります(練習問題)。