>>688

ご苦労様です
下記を抜粋しておきますね
詳細は、本文を読んでください

(参考)
dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%A9%2F%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96%EF%BC%88%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%81%AE%E5%A0%B4%E5%90%88%EF%BC%89
武内修＠筑波大 重川研究室
Top線形代数Ｉ対角化（一般の場合）
2023-12-13

相似な行列・相似変換
行列 A と B との間に
B=P^-1AP
の関係があるとき、
「A と B とは相似である」という。

相似変換は固有値や階数を保存する †
相似変換によって固有値が変化しない
すなわち

相似な行列というのは、固有値が等しい行列のこと
略証明

相似変換と座標変換
行列の対角化・三角化 †
この後得られる結果を先取りしておく。
・相似変換により任意の行列を三角行列に変換できる（三角化可能）
・相似変換により行列を対角行列に変換できるときとできないときがある（対角化可能・不可能）

相似変換による三角化・対角化とは？ †
ある行列Aを正則行列Pによって相似変換して結果を三角行列あるいは対角行列にすること。
あるいは、そのような行列Pを見つけること。

三角化（対角化）できたならば、対角成分は A の固有値である

対角化 †
対角化するための
P をどのように見つけるか †
固有ベクトルを並べた行列

対角化する行列の任意性 †

対角化可能条件 †
対角化は必ずしも可能ではない。

より使いやすい条件 †
教科書の P83 あたり でやったように「ある行列の列ベクトルが一次独立」であることと、その行列が正則であることとは同値である。

したがって、「Aがn本の一次独立な固有ベクトルを持つこと」 がAを対角化できる条件となる。

対角化可能性の判別 †
すべての固有値が、自身の重複度と同じ数の一次独立な固有ベクトルを持つことを確認すればよい。

行列の三角化 †
対角化が必ずしも可能とは限らないのに対して、
三角化は任意の行列 に対して必ず可能である。
→ 定理 6.2

証明には数学的帰納法を使う。

ジョルダン標準形 †
対角化できない行列は扱いが難しく、応用上は特別扱いが必要になることが多い。

そのような行列も三角化は可能であることを上で見た。

特に、次の特別な形の三角行列をジョルダン標準形と呼び、 任意の行列がジョルダン標準形に変換可能であることを示せるが、 ここでは詳細は割愛する。

固有値の重複度と固有ベクトルの自由度 †
上記でやり残した「固有値 λk が重複度 rk を持つ時、 固有ベクトルの自由度 fk は rk 以下である」を証明しよう。

対角化・三角化の実用性 †
ここでは対角行列・三角行列の性質を確認し、その応用可能性の一部を紹介する。
他にも多岐にわたる応用がある。

ケーリーハミルトンの定理

トレース、行列式と固有値との関係

相似な行列は †
・固有値が等しい
・トレースが等しい
・行列式が等しい
という点で「似ている」ことになる。