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量子力学と固有値 追加

(参考)
https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E2%85%A0%2F%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E3%81%A8%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4
武内修＠筑波大 重川研究室
量子力学Ⅰ/固有値と期待値
2024-05-17
目次 †
量子力学Ⅰ
目次
・概要
シュレーディンガー方程式を解いて物理量の期待値を求める問題は 線形代数の知識を使って理解すると見通しが良い。
以下、線形代数IIで学んだ関数空間の考え方 が量子力学でどのように生かされるかを学ぶ。
・関数ベクトル・線形演算子
・シュレーディンガー方程式・線形演算子の固有値
・固有関数の物理量は固有値そのものである
・エルミート演算子
・エルミート行列・演算子の固有値問題

https://qiita.com/Ken-ichi_Hironaka/items/d7b3d5b808a1085a6eb0
qiita
@Ken-ichi_Hironaka
固有値・固有ベクトルの使いみち（５．量子力学）
投稿日 2019年12月06日

なぜ、原子は特定の色だけを吸収したり放出したりするのでしょうか？　物理学者のニールス・ボーアは次のような仮説を考えました。原子核の周りでは電子が回っている。この電子が取りうる軌道は、「飛び飛び」であるに違いない。そして、それぞれの軌道は「固有のエネルギー」を持っている。電子が「高いエネルギーの軌道」から「低いエネルギーの軌道」に移るときは、エネルギーが放出されて光となる。逆に、電子が「低いエネルギーの軌道」にいるときは、光を吸収することによって、「高いエネルギーの軌道」に移ることができる。結局、この「各軌道に固有なエネルギー」の差だけによって、その原子が放出・吸収できる光の色が決まっているのだ。

量子力学の「物理量」とはオブザーバブル（可観測量）と呼ばれる複素数の無限次元行列（線形作用素、演算子）で、その固有値が「取りうる測定値」になっています。
それぞれの測定値＝固有値の出る確率は、先に述べたようにボルンの規則によって定められます。具体的には、固有ベクトルに現在の波動関数を掛け算して自乗したものが、対応する固有値の出る確率となっています。
ところで、我々が観測する物理量の測定値は実数に限られるため、物理量はエルミート行列（対称行列の複素数版）であるべきです。
そんな都合の良い行列をどこから持ってくるのでしょうか？　
幸い、古典力学の「物理量」から量子力学の「物理量」を天下り的に得る正準量子化という手法があります。状態の時間発展を表すシュレディンガー方程式に含まれていたハミルトニアン H^
もエルミート行列ですが、これは古典力学でいうところのハミルトニアン（全エネルギー） H^
を正準量子化して得られるものです。