>>269
1）一つ補足する
　箱入り無数目の原理:n列並べ替えで、すでにn列の属する同値類と その代表が決まっていてd1,d2,・・dnも決まっている
2）1列でも すでにその1列の属する同値類と代表が決まっていてd1も決まっているべき
　いま ある定数aで 十分大きなaを取ることが出来て、d1＜aとなる aを考えれば 1列の箱入り無数目が成立
3）d1の大きさを見積ろう
　一般論で、ある同値類において ある代表が取れて 決定番号がdだった
　しかし、必ず決定番号 d+1を持つ同値類の元が存在し、d+1を持つ同値類の元は 次元が一つ上
4）数学的には >>1の通りで
　実数列の集合 R^Nを考えると
　s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
　ここに、sが問題の数列で s'が同じ同値類の元
　形式的冪級数に移すと
　Fs[x]=s1+s2X+s3X^2・・+sn-1X^n-2+snX^n-1+sn+1X^n・・
　Fs'[x]=s'1+s'2X+s'3X^2・・+s'n-1X^n-2+s'nX^n-1+s'n+1X^n・・
　と書ける
　決定番号d=nとすれば、sn＝s'nであり それ以降も等しい
　差を取ると等しい項が消えて
　Fs[x]-Fs'[x]=s1-s'1+(s2-s'2)X+(s3-s'3)X^2・・+(sn-1 -s'n-1)X^n-2
　となり Fs[x]-Fs'[x]は多項式でn-2次。つまり 決定番号d=nとは Fs[x]-Fs'[x]がn-2次となるFs'[x]を代表としたということ
　n-2次よりも n-1次多項式は一つ次元が上で その数はR倍(非可算無限倍)ある。n次多項式も同様にR倍(非可算無限倍)ある
5）このような、R^Nのしっぽ同値類の数学的構造であって
　決定番号d=nの大きさを見積もると 明らかに d→∞ に発散している
　なぜならば、常に nに対して それより1次大きい多項式が取れる。nは 自然数N全体を渡る
　一つ次数の大きい多項式は、空間に戻すと n次多項式は n+1次元空間を表していて 全体では無限次元線形空間になる（都築）
6）よって、繰り返すが 決定番号d=nの大きさを見積もると 明らかに d→∞ に発散している
　1列で 上記2項のような ある定数aは存在しえない
　1列の箱入り無数目は不成立
　従って、n列の箱入り無数目も不成立□

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫 広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる□