>>122
>決定番号の確率空間を書いてくれ

ID:/GO5r+8C は、弥勒菩薩様か
スレ主です

数学科オチコボレの二人のお相手、ありがとうございます。
実は、変なアク禁で自宅からの書き込みができなくなり
いま、職場からです ；ｐ）

私めの ”決定番号の確率空間”をば
ご進講つかまつりまする

１）まず、本当はR^Nの 一つのしっぽ同値類内の二つの異なる数列から定まる自然数 d∈N が ”決定番号の確率空間”の基礎ですが
　ミニモデルから説明します
２）ミニモデルとして、0〜9の整数からなる数列 s = (s1，s2，s3 ，・・,si,・・) （si∈{0,1,2,・・,9}）
　を考えます
３）>>5のSergiu Hart氏 Choice Games P2 Remark があるのですが
　これのもとが、”game2:Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion3 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.”
　ここで、rational number（有理数）→ 実数 として
　区間 [0,1]の実数の10進小数（無限）展開を考えます
　数列のしっぽ同値とは、二つの実数s,s'∈ [0,1] で、あるd番目以降の 10進小数展開 で 小数d位以降が一致していることです
　つまり、s＞s'として、s-s'は有限小数になる（いま、それをuと書く）
　つまり、しっぽ同値の構造は、s-s'＝u → s＝s'＋u と書ける
　ことばで書くと、 [0,1]の実数の10進小数（無限）展開の しっぽ同値とは その同値類である数s'があって s＝s'＋u と書ける
　いま、s'を代表と考えると、代表s’＋有限小数u ∈ [0,1] という構造です
４）そもそも、区間 [0,1]の実数は一般には無限小数です（非可算無限）
　一方、有限小数の集合をUとすると、U⊂Q(有理数)で可算無限集合です（有限集合でないことは自明）
　Qを完備化するとRになるように、有限小数Uを用いても 完備化は可能で 同様に Rになります
　ここで、下記 ハメル基底（R の Q-基底） は、”uncountable, and have specifically the cardinality of the continuum”であることを注意しておきます
５）さて、上記３）での”xn ∈ {0,1,...,9}”を、本来の”xn ∈ [0,1]（区間 [0,1]の実数）”にして
　本来の箱入り無数目を考えます
　議論は、上記１）〜４）と平行して行えます
　但し、小数展開ではなく 形式的冪級数と多項式の話に移すのが分かり易いです
　形式的冪級数 f[X] = n=0〜∞ anX^n=a0+a1X+a2X^2+⋯ と書けます
　この係数 a0,a1,a2・・・が、箱入り無数目の数列です（下記の環A→Rです）
　一つのしっぽ同値類内の二つの異なる 形式的冪級数 f[X], f[X]' で、差は多項式f(x)です( f(x)= f[X]- f[X]' )
　この多項式の次数をnとすると、決定番号ｄ＝n+1 (つまり f[X]と f[X]' は、ｄ＝n+1 以降の項が一致しているので 差をとると消える)
　R係数多項式環R[X]は、可算無限次元空間です （(参考) 代数学I 都築暢夫 広島大 www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf >>117）
　形式的冪級数環R[[X]] は、可算無限次元では収まらず 非可算（連続）無限次元です（下記 ハメル基底）

つづく