最高の位相の本はどれですか？

最高の位相の本はどれですか？

働けウンコ製造機

多様体論の最高の教科書
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1729093523/

ルベーグ積分の最高の教科書
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730417565/

代数の最高の教科書
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730532067/

数学の最高の教科書
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1726238043/

ブルバキ

大田春外 はじめての集合と位相

内田

森毅 位相のこころ
石川剛郎 位相のあたま

Bert Mendelson Introduction to Topology

集合と位相なら内田伏一

John L. Kelley, General Topology

Counterexamples in Topology (Dover Books on Mathematics) Paperback – Illustrated, September 22, 1995
English Edition by Lynn Arthur Steen (著), J. Arthur Seebach Jr. (著)

大田春外　はじめよう位相空間

James R. Munkres著『Topology Second Edition』

Jordanの閉曲線定理の証明が載っています。

加藤十吉の「位相幾何学」にも

内田伏一 位相入門

集合と位相(増補新装版)(数学シリーズ)
内田 伏一

ここまで松坂和夫『集合・位相入門』なし

彌永昌吉・彌永健一 集合と位相（岩波基礎数学選書）

Topological Vector Spaces (Graduate Texts in Mathematics, 3) 2nd Edition
by H.H. Schaefer (Author), M.P. Wolff (Assistant)

亀谷俊司　集合と位相　（朝倉書店）

たけし

松坂和夫著『集合・位相入門』

R^n の標準的な位相について、まず、点 x を中心とする開球を定義しています。
そして、 R^n の開集合 U をその任意の点について、その点を中心とする開球で U に含まれるものが存在するようなものと定義しています。
その後、 R^n の開集合の集合が開集合系の公理を満たすことを示しています。

James R. Munkres著『Topology Second Edition』

この本では、基底を定義し、基底が生成する位相を定義しています。
開球の集合は基底の定義を満たすことを確認し、それらが生成する位相を距離空間 R^n の位相としています。

Munkresさんのアプローチのほうが圧倒的に分かりやすいです。

近刊
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10131191.html
位相空間の道標
―基礎から位相不変量まで―
著者 小池 直之 著
分野 数学 > 位相
発売日 2025/04/03
ISBN 9784320115767
体裁 A5・280頁
定価 4,070円 （本体3,700円 + 税10%）

この本の内容

位相空間を視覚的に捉えられる例を多数掲載。ホモトピー群やホモロジー群などの位相不変量を導入し、位相幾何学の初歩までをカバー。

　本書では、位相空間の様々な性質を定義したあと、視覚的に捉えることのできる例を多数取り上げる。位相空間の例を図解することにより、その位相的性質についての本質的意味を掴むことができる。
　また、位相空間論における究極のテーマとして「位相空間の同相類をすべて分類すること」があげられる。2つの位相空間が同相であることを示すためには実際にそれらの間の同相写像を作ればよいが、同相でないことを示すためには位相不変量という道具を用いることが常套手段となっている。そのため本書の後半では、ホモトピー群やホモロジー群について解説し、前半部で学んだ内容へのフィードバックも行うようにしている。

小池先生のご本にしてはページ数が少ない

森田

位相の"位"は位置の"位"なんだろうかね。ならば"相"は何のつもりだろうか。

↓こういう注意がいいですよね。

James R. Munkres著『Topology Second Edition』

Theorem 27.3. A subspace A of R^n is compact if and only if it is closed and is bounded in the euclidean metric d or the square metric ρ.

Students often remember this theorem as stating that the collection of compact sets in a metric space equals the collection of closed and bounded sets.
This statement is clearly ridiculous as it stands, because the question as to which sets are bounded depends for its answer on the metric, whereas which sets
are compact depend only on the topology of the space.

有限次元多様体の話なのだから余計なお世話

松坂和夫著『集合・位相入門』

(S, O) を位相空間とする。
M を S の部分集合とする。
x が M の孤立点であるとは、 x が M の点で M の集積点ではないことと定義されています。

この定義が書かれている時点では、部分空間の定義がないので仕方がないのかもしれませんが、分かりにくい定義ですよね。

James R. Munkres著『Topology Second Edition』では、

X を位相空間とする。
x ∈ X とする。
{x} が X の開集合であるとき、 x を X の孤立点という。

と定義されています。

非常に分かりやすい定義です。

X を位相空間とする。
Y を X の部分空間とする。
A を Y の部分集合とする。

A を X の部分空間と考えたときの A の位相と
A を Y の部分空間と考えたときの A の位相は
一致する。

これは確かに自明なことかもしれませんが、重要なことだと思います。

松坂さんの本にもMunkresさんの本にも書かれていません。

R^n の部分集合 A が有界かつ閉ならば、コンパクトであるという定理は、

R^n ⊃ [-P, P]^n ⊃ A で [-P, P]^n がコンパクトだから、その閉部分集合 A はコンパクトであると証明します。

R^n の閉部分集合 A がコンパクトであるというのは、詳しくは、 R^n の部分空間としての A はコンパクトであるということだと思います。
コンパクト集合 [-P, P]^n の閉部分集合 A がコンパクトであるというのは、詳しくは、 [-P, P]^n の部分空間としての A はコンパクトであるということだと思います。

>>35

より、 R^n の部分空間としての A と [-P, P]^n の部分空間としての A は位相空間として同一です。
ですので、 [-P, P]^n の部分空間としての A がコンパクトなら、 R^n の部分空間としての A もコンパクトです。