対角線論法っておかしくね？

有限個の論理式で記述できない命題があることになるじゃん

働けウンコ製造機

深夜の糞スレ

トーラスっておかしくね？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730100088/

「素数の和は発散する」←おかしくね？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1726641149/

多様体っておかしくね？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1726618464/

対角線論法のスレがあったのでのっかり。
自然数と実数の１対１対応ってできるよね。
なんどやってもうまくいくので、どこかに落とし穴があるのかなと思うが、
どうやっているか公開もできないし。困った。
対角線とったとしても、全部あるし。どこに間違いがあるんだろう。
自然数の側は問題ないとして、実数という概念に考え違いがあるんだろうか。
(0,1]として、0.a1a2a3...と全部並べて自然数と対応させればいいんだよね。
有限の0.1も0.2も実数だよね？

問題のありかは、...にある。
数学における実数や対角線論法の扱い/考え方に問題があるのも確かである。
実数の前に可算無限な実数（のようなもの）があるのではないだろうか？
数学屋ではないので、可算無限実数（のようなもの）が定義されているかどうかは知らない。

物理（あるいは宇宙論）的には、数学的な実数は存在せず、可算無限実数（のようなもの）しかない、
と考えるほうが妥当かもしれない。

>>7-9
ランダム実数の存在公理

>>7
きもくね？

>>7
なわけない
>(0,1]として、0.a1a2a3...と全部並べて自然数と対応させればいいんだよね。

これ（実数）は、波だ。
非標準な方法で自然数に対応付けできるだろう。
おそらく、すでに誰かがやっている。
数学は自由だが、量子宇宙から逃れることなどできない。

実数の構成法をかえてみたのだが、また可算無限になってしまった。
ただし、(0,1]の範囲だけの話で、実数全体ではなく、この構成法では実数全体は非可算無限になる。
前回考えたのは可算無限の実数のようなものであり、カニかまのようなほぼ実数である。
数学において実数は存在するが、リアルにおいて実数は存在しないのだろう。

>>7
よく分からないんだけど、例えば0.11111…に対応する自然数は何になるの？

う、可算無限になったほうは、0.111...に対応する自然数を明かしてしまうと、
なにやっているか（トリック）がバレてしまう。
Eudoxus real numberの論文を調査中。これに従った構成法でできそうな雰囲気。
実数が可算無限であるといいはれるだけの証明をなんとか４月１日までに完成させたい。

ここまででわかったことは、
実数を得るのに有理数は必要ない、ということと、
数学にも観測者によって値が変わるものがある、ということ。
アレフ・ゼロの下にアレフ・マイナスワンも想定できると思う。既にある？

数学にも（数学的）観測者（主観）が必要であり、
数学的と考えるなら、客観的主観の誕生といえるだろう。

>>7
>自然数と実数の１対１対応ってできるよね。
[0,1)の元である無限小数をすべて自然数で附番したとする（仮定）。
ある[0,1)の元xが存在して、
xの小数第1位≠1番目の元の小数第1位
xの小数第2位≠2番目の元の小数第2位
xの小数第3位≠3番目の元の小数第3位
・・・
このときxは附番されたどの元とも異なる
矛盾が導かれたので仮定は否定される。すなわち[0,1)の元をすべて自然数で附番することはできない。
すなわち自然数と実数の１対１対応は存在しない。

>>19
数学的標準の否定から出発している議論の否定としては
不適当ではないか？

↑
こいつ何言ってんの？

>>21
19が数学的に正しいことを否定しているのではない。

上品なアタオカ

坂口安吾は夏目漱石の否定から
出発して「堕落論」を残した。

7が何を残そうとしているかに注意したい。

カントールの対角線論法なども、理解しているつもりだったが、
実際に、プログラムとして実装してみるといろいろな（実装上の）問題がでてくる。
カントールの論文では実数として二進の無限小数を使用しているが、
たとえば√2という実数を無限小数であらわせているといえるのだろうか？
指定された実数に対応する自然数を得る関数を作成しようとしたら、
実数が入力できねーじゃんw
とか考えていたら、有理数を使用しない実数の構成法があった。

非対角線論法はあるのだろうか？

辺論法

小籠包

カントールの対角線論法は問題ないとしても、
実数と無限小数には問題が潜んでいる。
不完全性となる決定不能性と、（数学的）観測者を導入すると不確定性もあらわれる。
（間違っていようとなんだろうと）実数は波である。
波でもあるが、実数はアイデンティティを持った粒子でもある。

ポエムだね、メルヘンだね

メロディーのないポエム

上品な連想

上品な連想から往々にして
新発見が生まれる
記憶のメロディー化とでもいえるだろうか

（大/超大）統一理論やラングランズ・プログラムや超弦理論や、その他の統一理論や万物理論をみると、
そこには対称性がある。
これらの理論において最も基本的な要請が対称性である。
ポアンカレに従えば、数学とは異なるものを同じとみなす技術であり、
同じであって、かつ、異なるものは対称性である。
ネーターに従えば、対称性は保存量に関連づけられる。

関孝和の行列式
幼少時のガウスの計算
これらも対称性の発見の素朴な実例であろう

突き詰めると
平方剰余の相互法則になったりする

>>34
複式簿記が保存量のはじまり。

>>35
行列式も行列も複式簿記のほうが先行してる。

>>37
パチョーリの著作で行列式が言及されている？

>>35
>関孝和の行列式
間違ってたって聞いたけど

間違っていたのは４次の行列式を表す式で
３次は正しい。
それを導いたのは消去法の考え方であり
それは何次でも通用し
本質的にはクラメールの公式と同等である。

>>40
2次3次間違ってたらそりゃ終わってるわ
0次1次は書いてないんだろうし

>2次3次間違ってたらそりゃ終わってるわ
難しい言い方をするね。
3次の行列式を関が発見した時の計算を推測してみると
4次以上でも同様であると考えて
関が多少気を抜いたのではないかと思える。

>>37
kwsk

関孝和は終結式も発見した

ガウスは割り算の余りとして負の数も許す考えで
平方剰余の相互法則を証明した

ガウスは割り算の余りとして負の数も許す考えで
平方剰余の相互法則を証明した

地球一周してくるとプラスマイナス一日ズレる

NHKスペシャルなどみていた（量子もつれ）が、
数というものも波（振動、波動）だとすれば、
自然数・整数・実数は観測者の立ち位置の違いだけなのかもしれない。
このような数を考えると量子もつれや不確定性もある。
訂正
数をこのように考えると、数にも量子もつれや不確定性がある。

自然数の構成方法は波(数学)の構成方法でもある。
構成方法は複数ある。
この複数の構成方法から考えれば、
波(物理)も横波縦波だけでなくもっとたくさんあると考えられる。
時空間として認識されているなにものかも、
自然数の構成方法の中にあらわれている。
そのへんを考えると、自然数の構成方法は認識論(数学)でもある。
表現(数学)は、認識論(数学)を客観化したものかもしれない。

ポエムだね、メルヘンだねー

{},{{}},{{},{{}}},...
{},{{}},{{{}}},...
もうひとつ、なんか見たような気がするがおぼえていない。

超弦理論からは５つのタイプ、
サーストンの幾何化予想からは８つ、
そのくらいはあってもいいし、組み合わせによってはもっとたくさんの
数学的波があると考えられる。

７つの基本カタストロフも、離散と連続には不可欠と考えたい。

波としての（自然）数を考える。
スタートとなるものは空（空集合）だ。
なんでもよさそうなのだが、いちばん差し障りがないのが空集合かもしれない。
空集合と点（無定義用語）を考えてみる。
この場合の点は位置など持たない。点のみ。
どちらもアイデンティティのみを持つ。
少なくとも、空集合の公理と外延性の公理を満たしていると考えられる。
空集合と（位置すらも持たない）点を同一視してみる。
しかし空集合と空クラスは同じものなのだろうか？
空集合ではない空クラス。
順序（集合）や半順序を考える前に躓いた。

空クラスを考える。
クラスを集まりと考えるなら空のクラスもある。
クラスを型と捉えるなら色のないクラスが空であり、無色クラスあたりが適当か。
空集合は集合だからなんらかのクラスがある。（持つとか属するとかではなく、漠然と「ある」）
クラスは集まりではない、そう考えるのがベターだと思う。
集まり（集合）があれば、それは必ずクラスを持つ。
クラスの集まり（集合）はクラスのクラスを持つ。
数学では、クラスをどのように定義しているのか。

やはり、クラスは型と考えるのがすっきりする。
クラスの集まりはクラスの集合である。
クラスを集まりとした場合、同じクラスに属する元の集合である。
異なるクラスの元は集合にならない。
ただし、クラスの継承や複合も考える。
共変・反変・不変（非変）・双変や変性も考えたい。
集合ではなく型システム付きの集合で実数を考えなおす。

緻密であっても、それは連続ではない。
とりあえず、limによる連続関数が存在したとしても、
実数すべてで検証できるわけではない。
一様連続関数でも同じだ。
実際の論文ではどうなっているのだろう。疑問だ。
一様連続性でも、緻密であるとしかいえない。
そもそもδの連続性が証明に入っていないのではないだろうか？
背理法でなければ連続性は証明できないのではないか？
どうなんだろう？

すなわち、数学的な（一様）連続性の証明は、
クラスが異なるものを混在させており、その部分について不十分のように感じられる。
パラドックスをかかえている可能性がある。（数学屋ではないのであしからず）

>パラドックスをかかえている可能性がある。（数学屋ではないのであしからず）
数学と相いれない厳しい論理に慣れた立場では？

連続だけでは加算無限になるのではないかと思う。
一様連続ならいけそうだが、単純に極限やイプシロン-デルタの二重適用であり、
それで実数の連続性を扱うとパラドックスが生じるのではないかと考える。
まあ、パラドックスを発見しないと話にはならないが。

固有クラスは集合の集まりの中で「大きすぎるもの」

ここでいう「大きすぎるもの」とは、集合全体の集まりと同じ濃度のもの、という意味

ちなみに固有クラスの集まりは、もはや固有クラスですらない

これ、常識な

完備かどうかの問題だった。
limもイプシロンデルタも最初から完備である全逓なので、
わたしの誤謬になる。
連続とか一様連続は実数の定義にはつかえない。最初から実数であることが前提だ。
クラスが異なった。
離散のクラスから連続のクラスへいたるには、完備であることが必要になる。
まず、完備でない集合上での極限やイプシロンデルタを考え、完備な集合上との対応にはなにが必要になるか、
完備でない集合だけで完備な集合を構成できるか、などを考えてみる。

全逓->前提。
4K x 2 にしたので、文字をもっと大きくしなくちゃだわ。

直方体の対角線論法ってある？

【全逓】
《「全逓信労働組合」の略称》昭和21年（1946）に逓信省職員の労働組合として結成された全逓信従業員組合の後身。

数学的対象を「数」とする立場と、自然数のみを「数」とする立場がある。（それ以外はとりあえず考えない）
無限を考えると、二重ループ以上では、扱いが難しい。
非標準なやりかたで一度、体系の外側から攻める必要がある。（不完全性定理？）
そもそも公理というものが非標準なのかもしれない。
型システムとしてのクラスを使用した公理システムが整備されるべきだと考える。（型付き圏論？ 型付き数学言語？）

自然数のクラスと実数のクラス間で対応をとるためには、自然数のクラスが２つあれば十分なのか、２つあっても情報が足りないのか。
おそらく情報が足りていない。
この情報を構造と考えるなら、実数は離散数＋構造で構成できる。
構造も離散数とするならば３つの離散数で構成できる。ただし...決定不能性が...もう少し考えよう。

ある種の型システムを使えば、ラッセルやらカントールやらのパラドックスは構成可能なままに無矛盾に回避される。
集合の集合も集合として構成できるので、大きいとか小さいとかも圏論から除去できる。
異なるクラスを双変にするタイヒミュラー空間のようなものを作れればなんとかなるだろう。
そこにはタイヒミュラーあるいは望月あるいはプリゴジンの魔物が棲んでいる。ワグネルの反乱になってしまうかもしれないが。
数学の証明にエントロピーが入ることになるだろう（予想）。

単なる型ではないタイプのクラスは強力だ。数学を破壊しかねない。
問題は、量子宇宙にも同様のメカニズムがあるかどうかだ。
これを発見しなければならない。
おそらく、クオークもクラスだ。
なにものかが３つあれば、すべてを構築できるのではないか。なんらかの３つ組。

空のクラスは存在するのか。
ある種の型システムによって、真のクラスは存在しない、とする。
クラスは、集まりによって定義されるのだとすれば、
空集合のクラスは色のないクラスだ。

無限は存在しない、とする。
記述は有限だ。
数を比較するのではなく、数の公理システムを比較する。

数学が、異なるものを同じとみなす技術である限り、
自然数と実数を同じとみなすことも可能だろうと思う。
型システムによって同型と準同型をシームレスに扱う方法があるのではないかと。

>>72
ならcondensed math.がおすすめかもしれない

ありがとうございます。

ふう、やっと書き込めた。
液体ベクトル空間は、クラスのネットワークと考えています。
波が伝播しないといけませんしね。

やっとなにがおかしいのかわかってきた。
自然数は有限な数が無限にある。
これを無限な数が無限にあると実装してしまった。
最初から実数と同じ濃度だったわけだ。
非加算無限な自然数や整数。ペアノの公理をちょっといじればでてくるだろう。
実数と同じかどうかはさておいて、濃度は実数と同じだ。
おそらく、すでに名前がついていて、数学的対象として存在しているはずだ。

ある種の型システムのクラスを組み込んだ集合論は、
内部集合論と整合性がとれるのかどうか。
内部集合は非標準な元を含む。
この場合、たとえば自然数という無限集合にはすべての元を含む有限部分集合が存在するらしい。

と、ここで混乱してきた。
有限という用語が立場によっては無限を含む。
数学の用語はわかりにくい。
だいたい、自然数に非標準の最大（量）であるωを含めた集合は有限集合なのか無限集合なのか。
標準の自然数の集合は無限集合だけど、
非標準の自然数の集合は、要素が無限にあってもωがあるから有限集合のようだ。
ならば非標準な値を含むω進数あるいはアレフ進数がつくれる。
そうなってくるとアレフは絶対的ではなく相対的な階層となるだろう。半端なアレフだって構成可能になる。

ωを非標準な数とすると、ω進数というのはおかしい。
非標準な場合、ωはその桁の最大（最小はω/1）であり、∞進数あるいはℵ進数がよいのかもしれないが、
誤解されなければω進数と呼ぶのが手ごろだ。
また、１進数を考えるなら、0（空位）と無（無記）も区別しなければならないだろう。

ま、ねぇー いかなる自然数Nについて
2^N = M となるMはモチロン存在するワケで
そりゃ、実数と整数は同じでかさなのだ。
1.41421356・・・を1000000・・・倍すりゃ
141421356・・・0 という整数になるぜ
ここで無限桁目はモチロン0
だって二乗すると
20000000000000・・・・0だしさ、
無限桁目はモチロン0でとにかく、
無限桁-1桁目もモチ0でとにかく、
無限桁-99999999桁目もモチ0でとにかく
全部ゼロ

あ、そっか、√2は0に等しいぢゃーーーん
ま、前々から薄々気づいてたが
全ての実数はゼロに等ようぢゃ。
ぢゃーバイバイ👋　また今度お会いしません。

ω進数で考えると、実数といえども桁の階層を２つ使っているだけでは（真の）連続ではない。
真の実数が存在するとすれば、アレフワンなんていう濃度では足りないだろう。
ルート２やπなど、現在考えられているアレフワンの実数上には無いのかもしれない。

やっと可算鎖条件から非可分空間でも直積位相を加えたものにたどりついた。
これなら、離散と連続を自然にマッピングできる。
実数を構成しているのは波だ。

集合の色としてクラスを与えると、選択公理は集合の集合における元としての集合の元の寄せ集めを扱う。
少なくとも、基本となる同じ色を持っているという公理だ。
ある種の型を持つクラスシステムは、選択公理必須かもしれない。
整列可能でなければクラスシステムはつくれないし、
整列から整列への変換が計算だし、
もしかして、クラスシステムと選択公理は等価（等価は数学用語ではない）か？

ω進数を考えていたが、
先行する考えとしてp進数というものが存在していた。
p進数の議論の中にはωに言及しているものもあるようなので、
論文を探して調べてみたいものだ。
（pは基本的に素数だが、ωは非標準な最大量や無限遠方という違いがある）

ZFC(Cは必須)で、置換公理をクラスの公理とみなすなら、
数はクラスとω変数と四則演算から構成することができる。
そんな気がしてきた。
とりあえず実装してみて問題点を探ってみようと思う。
圏論を数学的対象とすれば、それも構成可能かもしれない。

対角線論法の集合版をみてみると、それはラッセルのパラドックスである。
X∉X
これを自己射を持たないと考えるなら、自己同一性を持たず、対象にはならないということになる。
X∈Xであることは、対象/存在として必須である。
ZFに必要なのは自己同一性の公理だろう。
そうすることで選択公理も自然に含まれることになると思う。
パラドックスや矛盾は、自己同一性の問題なのではないだろうか？

自己同一性を観測すると波や粒子になり、
観測されないと量子（状態）になる。
哲学や数学は、自己同一性(/存在/認識)を巡る壮大な物語だ。

空集合の公理から作り直す必要があるだろう。
UNIXのディレクトリ構造のように、それ自身を示す「.」や親を示す「..」は、必ず存在する。
（rootの場合、..は、存在しないか、.と同じか、あるいは...）

自然数（整数・有理数）が有限な数の無限な集まり、だとすれば、
実数は何の集まりなのか？
無限な数の無限な集まり、とすれば、その集まりは加算無限になる。
有限な数の無限な集まりのさらに無限な集まりではアレフワンになる。
半端なアレフも不可能ではないと思う。

加算じゃねーや可算だ。変換ミスってる。

標準的な数学の枠組みから外れれば、可算濃度と連続体濃度の間ともいえる濃度が定義できてしまう。
クラスとクラス間の広義(/濫用)のタイヒミュラー空間があればよい。
量子論とクラスで数学の未解決問題はすべて解けそう/溶けそうな期待。
とりあえず、わたしの対角線論法の問題は完了。

アホな妄想してないで
キチンと作れよ

にしても、実数を集合とした場合、シリコン上に記述するのはむつかしい。
素朴クラス論を考える。
集合とは同じクラスに属するものの集まりである。としてしまう。
数学という宇宙が、無矛盾で滑らかであるとすれば、
整数と実数も滑らかにつなげることができるだろう。
数学とはそのような技術だ。
以前考えていた０の除算と草原の違いを調べていたら、滑らかなクラスのイメージがでてきたので考察中。

テグマークのレベル4のマルチバース、数学的に無矛盾な宇宙は全て存在しているって考えは自然なものだと思うけど、最後の最後、なんでいつから宇宙は実在したの? って疑問は残るよね

完全な無があったとしたら、そこに数学的な原理を実現するための媒体すらないわけで

前草原の定義をみていたら、
0⋅(x+y)=0⋅x⋅y だった。
当たり前のようだが、前草原では0x≠0である。
IUTいらないんじゃない？ 宇宙際じゃなくてクラス際でABC予想は、いけそうな気もする。
ただ、草原で、環の束を組み換えられるかどうかは知らん。
クラス際タイヒミュラー空間で遺伝子組み換え？

ちょっと勘違いした。
これは、classのbaseとなる定義のひとつで、defaultの定義だった。
ただたんにdefaultでは演算が潰れるということ。
草原は、環における（広義の/濫用の)（クラス際）タイヒミュラー空間のようだ。

草原って、多世界解釈のような体か？
0除算が入ると、どうも量子論っぽくなって来る。

うむ

数学も、無矛盾であるかぎりは（なにを保存するのかはさておいて）保存則を満たしている必要がある。
同じ濃度の対象間には（広義の/濫用の）タイヒミュラー空間がある/なければならない。
おそらく、異なる濃度であってもタイヒミュラー空間を置くことは可能だ。
量子論的なパズルになるだろう。数学は一度破壊して、量子論的に組み立てなおす必要がありそうだ。
0は0ではなく、x-xだ。大きさ、あるいは量子状態を持っている。

x-xはx+(-x)であり、0は粒子と反粒子からなるのだ、と考えるのがおもしろい。

無限集合が存在する、という公理を取り下げたらそのとたんに、可算無限も非可算無限も消えてなくなりそう。