杉浦光夫著『解析入門I』、『解析入門II』を精読する。

いいアイデアですか？

例えば、 χ_{A ∪ B} = χ_A + χ_B - χ_{A ∩ B} などという式を考えるときに、 A ∩ B が空集合になるという状況は普通です。
ですので、 χ_{空集合} は定義されていなければなりません。
ですが、空集合の場合についてどうするかについての記述は一切ありません。

Iのp.263

「
0 ≦ χ_A ≦ χ_{I_1} + … + χ_{I_m} であり命題3.1,5)によって

0 ≦ S(χ_A) ≦ v(I_1) + … + v(I_m) < ε

が成立ち、
」

と書かれています。

χ_A ≦ χ_{I_1} + … + χ_{I_m}

から

S(χ_A) ≦ v(I_1) + … + v(I_m)

はどうやって導くのでしょうか？

χ_A ≦ χ_{I_1 ∪ … ∪ I_m}

が成り立ちます。

ですので、

S(χ_A) ≦ S(χ_{I_1 ∪ … ∪ I_m})

が成り立ちます。

S(χ_{I_1 ∪ … ∪ I_m}) = v(I_1 ∪ … ∪ I_m)

が成り立ちます。

体積の劣加法性により、

v(I_1 ∪ … ∪ I_m) ≦ v(I_1) + … + v(I_m)

が成り立ちます。

杉浦さんは

>>24

この不等式より甘い不等式を使って途中経過を書かずに同じ結論を書いています。

∫_{I_1 ∪ … ∪ I_m} χ_{I_1} + … + χ_{I_m} = v(I_1) + … + v(I_m)

は2次元の場合を考えれば直感的に成り立ちそうですが、どうｙって証明しますか？

謹賀新年

大吉なら『解析入門』を通読できる

千里の道も一歩から

>>26

あ、簡単な話でしたね。

I_1 ∪ … ∪ I_m ⊂ I となる I をとる。

∫_{I_1 ∪ … ∪ I_m} χ_{I_1} + … + χ_{I_m} = ∫_{I} χ_{I_1} + … + χ_{I_m} = ∫_{I} χ_{I_1} + … + ∫_{I} χ_{I_m} = v(I_1) + … + v(I_m)

Iは今月中に読み終えることができそうです。

Iのp.266のルベーグによる補題9.4ですが、証明は簡単ですが、アイディアが分かりづらいですね。

Iの第4章§9零集合と可積分条件

もっとすっきりと書けないものでしょうか？

杉浦光夫著『解析入門I』

p.270

「各 I_k を n 等分すると、上式から、その n 個の小区間に含まれる t に対応する曲線 C の弧は一辺の長さが 2 * d(Δ) * L / n の正方形に含まれる。」

と書かれています。

「一辺の長さが d(Δ) * L / n の正方形に含まれる」でもよいと思うのですが、なぜ杉浦さんは「一辺の長さが 2 * d(Δ) * L / n の正方形に含まれる」と書いたのでしょうか？

杉浦光夫著『解析入門I』

I ⊂ R^n とする。
f, g を I 上の実数値関数とする。
f を I 上可積分とする。
{x ∈ I : f(x) ≠ g(x)} が零集合であるとする。

このとき、 g は I 上可積分であり、

∫_{I} f = ∫_{I} g

である。

『解析入門I』に、この類の命題が全く書かれていないのはなぜでしょうか？

ただ可積分かどうかを判定する命題が書かれているだけです。

あ、 g は I 上可積分とは限りませんね。

…BQ4K
おまえエーカゲンにセーよ

Iのp.273の定理9.8系2

D をコンパクトな体積確定集合であると仮定していますが、有界な体積確定集合であれば成り立ちます。

Iのp.270の定理9.8

この定理の(2)の証明ですが、一般的に通じるような証明ができるにもかかわらず、この定理での仮定の特殊性を利用して証明しています。
非常によくないことだと思います。

451 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/08(水) 12:10:11.45 ID:RkoWqylf
杉浦光夫著『解析入門I』のp.273の定理9.8系2

D をコンパクトな体積確定集合であると仮定していますが、有界な体積確定集合であれば成り立ちます。

このように仮定を強くしすぎるのは良くないことですよね？

実際、杉浦さんも、次のページの例9でコンパクトであるとは限らない面積確定集合である Dに対して、上の系2を適用しています。

杉浦先生もここまで信仰されるとはあちらで苦笑されていりことでしょう
ご冥福を祈ります

２００８年度日本数学会出版賞受賞者のことば
このたび杉浦光夫さんが山内恭彦氏（故人）との共著『連続群論入門』によって，２００８年
度の日本数学会出版賞を受賞なさったことはまことにめでたく，喜ばしいかぎりです．不幸にし
て杉浦さんは受賞式直前の３月１１日にお亡くなりになり，《受賞者のことば》をお書きになるこ
とができませんでした．そこで御生前に親しくしていただいた私が，かわりに受賞お祝いのこと
ばを書くことになりました．
１９５４年ごろから，駒場（東大教養学部数学研究室）で，岩堀長慶さんを中心とするリー群
論セミナーが始まりました．杉浦さんや私のほか，伊勢幹夫君（故人）も出ていたと思います．
主題は半単純リー群の構造，単純リー群の分類，対称空間の理論など，多岐にわたりました．私
はこのセミナーでこそ，現代数学というものの手ほどきを受けたと思っています．
杉浦さんはそのころからリー群の表現論を深く研究し，E. カルタンや H. ワイルの理論を紹介
してくれました．
私は途中で留学してしまいましたが，セミナーは続き，『連続群論入門』は，１９６０年に出版
されました．帰国してはじめてこの本を読んだ私は驚いてしまいました．小さな本なのにものす
ごく内容が豊かなのです．
第１章で線型代数の要約をしたあと，第２章がもう回転群 SO(3)の表現です．実際には２枚の
被覆群である特殊ユニタリ群 SU(2)を扱い，その既約表現を全部つくってしまいます．その途中
でシューアのレンマや不変積分（ハール測度）もきちんと扱われています．
第３章は線型リー群とリー環の対応で，ここがいちばん難しい．第４章がローレンツ群，第５
章が球関数．ここまで書いてある本は当時まったくなかったし，いまでも非常に少ないと思いま
す．その意味でこの本は奇蹟ということができるでしょう．数学や物理をめざす人みんなに読ん
でもらいたい本です．
斎藤 正彦

抽出ID:RkoWqylf (4回)

451 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/08(水) 12:10:11.45 ID:RkoWqylf
杉浦光夫著『解析入門I』のp.273の定理9.8系2

D をコンパクトな体積確定集合であると仮定していますが、有界な体積確定集合であれば成り立ちます。

このように仮定を強くしすぎるのは良くないことですよね？

実際、杉浦さんも、次のページの例9でコンパクトであるとは限らない面積確定集合である Dに対して、上の系2を適用しています。

452 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/08(水) 21:08:26.03 ID:RkoWqylf
杉浦光夫著『解析入門I』

p.276

定義4
R^n 内の有界な体積確定集合 A の一般分割 Δ とは、 A を有限個の空でない体積確定集合 A_k (k ∈ K(Δ)) の合併として

A = ∪_{k ∈ K(Δ)} A_k

と表わすことを言う。ただしその際

v(A_k ∩ A_l) = 0 (k ≠ l)

が成立つものとする。

453 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/08(水) 21:10:36.88 ID:RkoWqylf
任意の正の実数 δ に対して、

d(Δ) < δ であるような A の一般分割 Δ が存在することを証明なしに杉浦光夫さんは使っています。
これは証明を要するのではないでしょうか？

454 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/08(水) 21:17:48.01 ID:RkoWqylf
あ、 A を含む矩形 I をとって、 I の分割 Δ で d(Δ) < δ であるようなものを考える。
I の各小区間 I_k と A の共通部分 I_k ∩ A のうち空でないもの全体は A の一般分割である。
そして、任意の k に対して d(I_k ∩ A) < δ である。

Iの定理9.10（p.276）の証明ですが、よくできた証明ですね。
どこからコピー&ペーストしてきたんですかね？

木を見て森を見ずの典型やな
人生損してるで

10年微積分やってこのレベル、損してるのか、馬鹿の拘り

ニートで
数学微積分レベル
プログラム才能無し
物理才能無し

Iの難所は、おそらく第4章§9「零集合と可積分条件」だと思いますが、定理9.11の証明を読み終わると§9を読了することになります。
これ以降は簡単だと予想します。

ガンマ関数のところを早く読みたいです。

基底と罵倒されてもめげない精神

Iのp.279

「いま A およびすべての J'_p を含む有界閉区間 I の分割 Δ で各 J'_p のどの面もいくつかの I_k (k ∈ K(Δ)) の面の合併になるようなものを作る。」

↑簡単な話なのに、この言い方が分かりにくすぎます。
↓のようにするというだけのことを「文学的な表現」をしているので分かりにくくなっています。

J'_p = [a_1, b_1] × … × [a_n, b_n] とする。
I = I_1 × … × I_n とする。
I_1 の分割が a_1, b_1 を含む。
…
I_n の分割が a_n, b_n を含む。

Iの定理10.1の証明についてですが、p.283に「(10.4)の左辺の極限が存在して、 (ξ_i, η_j) のとり方によらず J に等しいことを意味する。従って定理9.11によりこのとき、 f は A 上可積分で J = ∫∫_{A} f である。」と書かれています。

(10.4)の極限は d(Δ) → 0 のときの極限です。
本当は d(Δ') → 0 のときの極限が存在して、 J に等しいことを示さないといけないはずです。

d(Δ) → 0 のとき、 d(Δ') → 0 であることは Φ が I 上で一様連続であることから分かります。
d(Δ') → 0 のとき、 d(Δ) → 0 であることを杉浦さんは示していません。

477 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/14(火) 13:38:14.36 ID:CFti7dI6
杉浦光夫著『解析入門I』

I ⊂ R^n を直方体とする。
Φ : R^2 ∋ (r, θ) = (r * cos(θ), r * sin(θ)) ∈ R^2 とする。
A = Φ(I) とする。
f(x, y) を A 上可積分とする。
I の分割を Δ とする。
I_{ij} （i = 1, …, m, j = 1, …, n）を分割された小長方形とする。
∪Φ(I_{ij}) は Φ(I) の一般分割である。
J_{ij} = Φ(I_{ij}) とする。
Δ に対応するこの一般分割を Δ' とする。
d(Δ) を Δ の直径とする。
d(Δ') を Δ' の直径とする。
Φ は I 上で一様連続だから、d(Δ) → 0 のとき、 d(Δ') → 0 である。

478 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/14(火) 13:38:28.48 ID:CFti7dI6
杉浦さんは、

lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

が成立つことを証明し、

∫∫_{A} f = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

であると結論しています。

ですが、本当に示さなければならないのは、

lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

ではなく、

lim_{d(Δ') → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r

です。

d(Δ') → 0 のとき、 d(Δ) → 0 はどうやって示すのでしょうか？

481 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/15(水) 10:54:34.32 ID:VrxcjIlV
478

あ、定理9.11により明らかですね。

杉浦光夫著『解析入門II』

p.7 「(√2/2, √2) で < 0」と書かれていますが、「(√3/2, √2) で < 0」が正しいですよね。

↑のような誤りはありますが、この例2は陰関数定理の証明の論法でレムニスケートの概形を描いていて、いい例だと思います。
凡人の教科書では、誰も思いつかないような素晴らしい例など書けるわけもないので、このような地道な例を書くと良いと思います。

例2は、

f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - 2 * (x^2 - y^2) とする；

曲線 f(x, y) = 0 の概形がどうなるのかを求めるという例ですが、

第一象限のみを考えて、 y = g(x) と解いたときに、 x = √3/2 で g'(x) = 0 になるのは分かります。
ですが、 g が (0, √3/2) で単調増加、 (√3/2, √2) で単調減少というのはこの流れでどうしたら分かるのでしょうか？

g はC^1級なので、中間値の定理から (0, √3/2) および (√3/2, √2) でそれぞれ定符号なのはすぐに分かります。
ですが、 g'(x) が (0, √3/2) で常に正、 (√3/2, √2) で常に負というのはどうして分かるのでしょうか？

杉浦光夫著『解析入門II』

↓で「f(V) = W とする」などと勝手なことを書いていますが、 f(V) = W をみたすような開集合 V, W を取れることは証明を要しますよね？

U が R^n の開集合、 f: U → R^n は U 上 C^1 級で、一点 a ∈ U において仮定

(2.4) det f'(a) ≠ 0

をみたすとする。

b := f(a) とする。

C^1 級関数 F : R^n × U →　R^n を

(2.6) F(y, x) = f(x) - y

によって定義する。このとき

(2.7) F(b, a) = 0

である。さらに

(2.8) det ∂F/∂x(y, x) = det f'(x)

であるから、仮定(2.4)により

(2.9) det ∂F/∂x(b, a) ≠ 0

である。(2.7), (2.9)により F は陰関数定理の仮定をみたす。
したがって、点 a, b の開近傍 V (⊂ U), W と、 C^1 級関数 g : W → V 存在して、次の(2.10), (2.11)をみたす。ただし f(V) = W とする。

(2.10) g(b) = a
(2.11) x ∈ V, y ∈ W に対して、 y = f(x) ⇔ x = g(y).

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

p.65 Theorem 8.2.

A を R^n の開集合とする。
f : A → R^n を C^r 級の関数とする。
B := f(A) とする。
f が A 上で1対1で det f'(x) ≠ 0 for x ∈ A ならば、 B は R^n の開集合で逆関数 g : B → A は C^r 級の関数である。

この定理を使えば、

>>59
>>60

で述べた問題点を解決できます。

f は U 上 C^1 級で、 det f'(a) ≠ 0 だから、 a を含む開集合 U' ⊂ U で、 det f'(x) ≠ 0 for any x ∈ U' をみたすものが存在する。

>>59
>>60

の U をこの U' で置き換える。

y = f(g(y)) for any y ∈ W であるから、チェインルールにより、 I_n = f'(g(y)) * g'(y) である。
よって、 det g'(y) ≠ 0 for any y ∈ W である。
また、 y = f(g(y)) であるから、 g は W 上で1対1である。
よって、

>>61

の定理により、 g(W) ⊂ V は開集合である。

x ∈ g(W) とする。
x = g(w) for some w ∈ W である。
g(f(x)) = g(f(g(w))) = g(w) = x である。
よって、 f : g(W) → W と g : W → g(W) の一方は他方の逆写像である。

この開集合 g(W) を改めて V と置けば、 f(V) = W である。

Munkresさんの本に載っている

>>61

の定理を使ってやっと杉浦さんの雑な話を正当化できました。


杉浦さんって雑ですよね？

しかもこれは超重要な定理の証明の中での話です。
『解析入門I』の逆関数定理Iの証明でも昔のバージョンの本では論証に問題がありました。その後訂正されましたが。

なんか逆関数定理の証明で一番重要なところでコケていますよね。
「ただし f(V) = W とする。」とか書いて。

あげ

アスペ上げ

（´・ɜ・）ノ

杉浦先生は、専門は解析だった？

表現論かもしれない