定義：R^N上の二項関係〜
∀s,s'∈R^N.s〜s'⇔(∃n0∈N.∀n∈N.n≧n0⇒s(n)=s'(n))

定理1：〜は同値関係である。

証明
〜は反射律・対称律・推移律を満たす。

〜をしっぽ同値関係と呼ぶ。

定理2：代表選択関数の存在
∃f:R^N→R^N.∀s,s'∈R^N.(s〜f(s))&(s〜s'⇒f(s)=f(s'))

証明
選択公理のステートメントにおける「空でない集合の空でない族」をしっぽ同値類に適用すればよい。

定理3：決定番号関数の存在
∃d:R^N→N.∀s∈R^N,n∈N.n≧d(s)⇒s(n)=f(s)(n)

証明
定理2よりs〜f(s)。d:R^N→N を d(s):=min{m∈N|∀n∈N(n≧m⇒s(n)=f(s)(n))} で定義すればよい。


定理4：箱入り無数目
∀s1,...,s100∈R^N.∃D1,...,D100∈N,j∈{1,...,100}.∀i∈{1,...,100}.i≠j⇒si(Di)=f(si)(Di)

証明
D1,...,D100とjを以下のように定義する。
・Di:=max({d(s1),...,d(s100)}-{d(si)})
・{j∈{1,...,100}|d(sj)=max{d(s1),...,d(s100)}}から元を任意にひとつ選択しjとする。
このとき、i≠j⇒Di≧d(si)であるから、i≠j⇒si(Di)=f(si)(Di)が成立つ。

補足
定理2よりsi〜s⇒f(si)=f(s)であるから、siの任意有限個の項を知らなくてもf(si)(Di)を知ることができる。

定理4の系
定理4においてi∈{1,...,100}をランダム選択したときP(si(Di)=f(si)(Di))≧99/100。

証明
定理4より|{i∈{1,...,100}|si(Di)=f(si)(Di)}|≧99。
よって、全事象の場合の数=100、事象si(Di)=f(si)(Di)の場合の数≧99。