>>792
(引用開始)
有理コーシー列全体の集合X上に、an〜bn⇔lim[n→∞](an-bn)=0 で同値関係〜を定義したとき、X/〜が完備であることは整列定理無しで示される。
なんで整列定理が必要と思ったの？
(引用終り)

赤ペン先生、入ります！ｗｗ ；ｐ）
「なんで整列定理が必要と思ったの？」については、下記のHorst Herrlichの
”Theorem 2.4 ([4], [14]). Equivalent are:
1. in a (pseudo)metric space X, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A\ {x} that converges to x,
略す
17. the Axiom of Countable Choice.”
を、百回音読してね ；ｐ）

なお、下記のソロヴェイモデル 到達不能基数＋
”ZF + DC を満たしで
実数集合が全てルベーグ可測で perfect set property を持ち、ベールの性質を持つものになっている”
ここの部分は、到達不能基数が ZFCの外です
だから、到達不能基数＋”ZF + DC と、”17. the Axiom of Countable Choice”は、直ちには矛盾していないことを付言しておきます ；ｐ）
（本音は、良く分からないｗ）

(参考)
　>>797より下記（Equivalent are:1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, ＆ 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.）
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
P546
2. In the realm of pseudometric spaces In this section we consider (pseudo)metric spaces and various compactness-notions for them.

Theorem 2.1 ([4], [15]). Equivalent are:
1. every separable pseudometric space is a Lindel¨ of space,
2. every pseudometric space with a countable base is a Lindel¨ of space,
3. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.

Definition 2.2. A pseudometric space X is called
1. Heine-Borel-compact provided every open cover of X contains a finite one,
2. Weierstraß-compact provided for every infinite subset of X there exists an accumulation point,
3. Alexandroff-Urysohn-compact provided for every infinite subset of X there exists a complete accumulation point,
4. sequentially-compact provided every sequence in X has a convergent subsequence.
Under the Axiom of Choice the above compactness concepts are equivalent.
This is no longer the case in ZF.

つづく