家から発掘されたプリントで出典元も解答も不明なのですが(2)までしかわからないです。
(3)はどう証明したらいいのですか？

・ある玉の移動後に『左右に玉がない玉（玉Aとする）』と隣り合ったとしても、次にその玉Aが移動すればまた空箱が間にできる。
・移動する順番を考えると、移動する番のまわってきた玉（玉Bとする）より左側にある玉は少なくとももう移動を終えてる玉なので、玉Bの移動によって空いた空箱（もともと玉Bのいた箱）に玉が移動してくることはない。
の2点はわかります。ここからグループ数が変化しないことを示すのはどうしたらいいですか？

https://i.imgur.com/kroKEWn.jpeg