全てのコインが裏になる条件は、四つの角と真ん中のコイン(合計5つ)が奇数回選ばれ、
辺の中央のコイン(合計4つ)が偶数回選ばれる事。他のパターンは無い。

変数s1,s2,...,s9を用意して0をセット。
この変数からランダムに一つを選び、値を1増やす、という「操作」を行う。
九つの変数の中に、奇数がk個ある状態を |k> 、その確率を<k>と表す事とする。
一回の「操作」により状態 |k> は
|k>　→　(k/9)|k-1> + ((9-k)/9)|k+1>
に遷移する。状態の前の数字は　その状態に遷移する確率を表す。

初期状態は|0>。「操作」を何度か繰り返し|5>という状態になった時に限り、
「全てのコインが裏」が実現している可能性がある。
変数s1〜s9は対等なので、状態|5>の内、指定した5個の変数が奇数であるというのは、
|5>の状態の内、1/C[9,5]=1/126だけ存在する。
従って、{<0>,<1>,...,<9>}に対する遷移行列を作り、n回の操作で、|0>が|5>に変化する確率を求め、
それの1/126が求める確率

Mathematicaでは次で計算してくれる　(結果は>>688)
M=Table[j*Boole[i==j-1]+(10-i)*Boole[i==j+1],{i,0,9},{j,0,9}]
MatrixPower[M/9,n][[6]][[1]]/Binomial[9,5]//Simplify