>>6
こういうのはどうでしょう

ある数列 c_n を考える．
左端の玉を x＝0 として、0≦x≦n の範囲を考え
c_n＝（玉の数）－（空白の数）とおく．

n が c_n＝0 となる最小の自然数であるとき，
0≦x≦n の区間の玉の数と空白の数，
連続する玉の区間の数と連続する空白の区間の数
はそれぞれ等しい．
よって，この玉を操作 P で移動させると
玉はすべての連続した玉の区間から，すべての
連続した空白の区間へ移動する．
この操作で区間のグループ数は変わらない．

残った区間を再び x＝0 から数え直すと
玉全体をグループ数が変わらない区間に分割できる．
よって全体のグループ数は不変である．