初等整数論の本は何がいい？

高木？

Weil, Number Theory for Beginners
小野孝, 数論序説
Ireland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory

小野孝, 数論序説
Serre, A Course in Arithmetic
森田康夫, 整数論

ハーディー＆ライトはどうですか？

古典だ
最初は舗装された道を歩むのがいいと思う

加藤・黒川・斎藤

目標の1つとして
小野孝の
オイラーの主題による変奏曲
ガウスの和・ポアンカレの和

これから整数論は、

抽象代数（有限群、PIDなど）
複素解析（留数解析、解析接続、一次分数変換など）
抽象調和解析（フーリエ逆変換、ポアソン和公式、ポントリャーギン双対など）

を使ってやった方がいい
代数体のイデアル論だけでなく、ゼータ関数、二次形式、楕円曲線なども扱ったほうがいい
そういう本があるといい

>>4
数論に親しみを持つには絶好ではないか

二次体くらいはもう「初等整数論」の範囲
ここから類体論を考えると、円分体や虚数乗法が出てくる
二次形式を考えると、類数公式やテータ函数などが出てくる

合同式がどうとか、ウィルソンの公式だとか、フェルマーの小定理だとか、平方剰余の相互法則だとか、純粋に代数的な初等整数論のイメージで整数論という分野を捉えても間違いではないですか？

山本芳彦 数論入門 (現代数学への入門) 辺りから芋づる式に

比較的新しくて入手しやすい本
加藤文元・砂田利一編 数論入門事典

>>12
これもよい本だ

インターネットで読めるのは
A Friendly Introduction to Number Theory
Joseph H. Silverman
https://www.math.brown.edu/johsilve/frint.html

翻訳もあり

有限体上の多様体の点の個数は合同ゼータ函数で記述できる
これを一般の多様体上で考えるにはエタールコホモロジーが必要になるが
楕円曲線、モジュラー曲線のヤコビ多様体、フェルマー曲線などの場合は、より直接的に計算できる
フェルマー曲線の場合は、ヤコビ和で計算できて、これは有限体上の調和解析の応用になっている

いわゆる「初等整数論」は

・ユークリッド整域⇒単項イデアル整域⇒素元分解整域
・有限体Fpの乗法群は巡回群Z/(p-1)Z
・有限体上のフーリエ変換

の3つの道具を使えばすぐに終わる
それを実際やってるのがセールの「数論講義」で、
わずか6ページで初等整数論を終わらせてる

初等整数論は、平方剰余の相互法則とあとは無理数論とかを除いたら、全部群環体に抽象化されたからな

6ページで終わらないのが
「完全数の新しい世界」

ゼミで、エタールコホモロジーや高次圏などをやりつつ、古典的な楕円関数論や二次形式論を極めた時、君は最強になるのだ

>>7
図書館で借りてきた
良い本だ
二次体の整数論と表現論（調和解析）との類似や、局所体や分岐理論が現代数学にどう応用されるのかが明快に書かれている

ここまでマスターオブ整数なし

初等整数パーフェクト・マスターも

初等整数論の続きは
斎藤秀司　整数論　共立出版
学部の後半で局所類体論

二次形式のおすすめは？

これだ！
https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b304767.html
図解する整数論
原書名 An Illustrated Theory of Numbers
著者名 安福　悠 訳
発行元 丸善出版
発行年月日 2022年10月
判型 B5　257×182
ページ数 336ページ
ISBN 978-4-621-30728-1
Cコード 3041
NDCコード 412
ジャンル 数学・統計学 > 代数学 > 整数論

内容紹介

本書は約500にのぼる図を用いて整数論の体系を解説するという斬新な教科書である．数字では頭に入らなくても図なら直観的に理解できる，という初学者にも配慮して，見開き2ページで1つの理論の紹介から証明までが完結する．1日２ページから始まる整数論の世界が楽しめる．こだわりぬいたイラストデザインにはもちろん幾何学の美もつまっている．

特にユニークなのが，ガウスが「黄金定理」と呼んだ平方剰余の相互法則が，力学系の考え方を用いて証明されている．さらに，2次形式を分析するトポグラフ (地形図)という考え方により，代数的な議論に頼らず，類数の有限性や，ペル方程式の解の構築法などが述べられている．

原著は米国出版協会から2018年に表彰されており，教育・授業に関しても超一流といえるJordan Ellenberg氏やMatt Baker氏も大絶賛の書．

http://illustratedtheoryofnumbers.com/
An Illustrated Theory of Numbers
Martin H. Weissman

数論幾何や保型表現は、頭のいい人にやらせておけばいい
数論の具体的な問題で地味に成果をあげてるのが
シーブ（篩）とサークルメソッド
みんなもやってみるといい

在庫僅少
https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1050-9.htm
数論序説
In Introduction to Algebraic Number Theory
ジョンズ・ホプキンス大学名誉教授　理博　小野　孝 著

Ａ５判／250頁／定価3960円（本体3600円＋税10％）
1987年1月発行，復刊 2001年8月発行
ISBN 978-4-7853-1050-9 （旧ISBN 4-7853-1050-2）　 C3041

　整数論の入門から研究論文までのかけ橋を望む読者のために、「序説」の立場で解説したものである。
　第１章は、初等整数論に相当するところで、いたるところに群の方法を用い、従来の書にない特色ある内容となっている。また、第３章では、広い意味での整数論における幾何学的ないし解析的方法を解説した興味ある話題になっている。

>幾何学的ないし解析的方法
トポロジー的方法ともいえる

初等整数論 ―数論幾何への誘い― (共立講座 数学探検 6) 単行本 ? 2015/5/23
山崎 隆雄 (著
ABC定理や超楕円関数体など,多項式における整数論の類似は数論幾何と呼ばれる分野の入り口にあたる。
数論幾何はヴェイユ予想という20世紀の数学を代表する成果を契機として生まれた。
その雰囲気を伝えるため,ヴェイユ予想のうち初等的に扱えるケースの解説も取り入れた。
これら初等整数論を題材にして,数論幾何の入り口まで道案内することが本書の目標である。

まずはここから
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10010989.html
代数と数論の基礎

著者 木村 俊房 編集委員・ 飯高 茂 編集委員・ 西川 青季 編集委員・ 岡本 和夫 編集委員・ 楠岡 成雄 編集委員・ 中島 匠一 著
分野 数学 > 代数学
シリーズ 数学 > 共立講座 21世紀の数学　全27巻 9
発売日 2000/11/25
ISBN 9784320015616
体裁 A5・308頁
定価 4,180円 （本体3,800円 + 税10%）

この本の内容

本書は、これから新たに代数学を学んでいこうという読者のための入門書である。第1章では整数の演算について考察する初等整数論を扱い、第2、3章で現代の代数学への入門である環と体、群を扱う。「入門書」であることを強く意識して、1）予備知識がなくても読めるようになるべく“一から”説明し、2）具体的な例をたくさん挙げ、3）定義や定理・命題の主張はなるべく簡潔にしかも正確に述べ、かつ「何故そのような定義をするのか」「その定理や命題はどこに“ありがたみ”があるのか」などを説明することを心がけた。

代数系の一般論を初等整数論に当てはめようってだけなら、Weilの本が最善だと思う

０は正かつ負である

ザギヤーの本はどうですか？

新装版が今日発売！
https://www.iwanami.co.jp/book/b657216.html
数論入門　新装版
ゼータ関数と2次体

代数的整数論や解析的整数論への切り口鮮やかな導入。前半でディリクレ級数、後半で2次体とそのゼータ関数を扱う
著者 D．B．ザギヤー 著 , 片山　孝次 訳
ジャンル 書籍 > 自然科学書 > 数学
日本十進分類 > 自然科学 > 数学
刊行日 2025/02/18
ISBN 9784000063494
Cコード 3041
体裁 A5 ・ 並製 ・ 182頁
定価 4,510円
在庫 在庫あり

この本の内容

代数的整数論や解析的整数論への導入として有用なゼータ関数と2次体の理論を解説。I部でディリクレ級数、II部で2次体とそのゼータ関数を扱う。ゼータ関数、L級数、2次形式などの話題が見事に交錯する。現代の傑出した数学者が数論のとりわけ興味深い理論を切り口鮮やかに提示した入門書。原著にはない略解とヒントを付す。

（岩波書店の書籍紹介ページの刊行日には出庫日が掲載されていてオンライン書店の商品情報を見ると20日発売になってるのであった）

>>42
書泉グランデとかジュンク堂書店池袋本店に行けばもう買える

東京の人はええなあ

アマゾンで注文すれば20日に届く

アマゾンに旧版のレビューあり

>>7
こいつは名著ですよ

著者か？

実二次体はおもしろい

実２次体といえば新谷卓郎

何でマセマに初等整数論はないのですか？

>>51
https://www.mathema.jp/%E3%81%8A%E5%95%8F%E3%81%84%E5%90%88%E3%82%8F%E3%81%9B/
こちらからどうぞ

イデアルの計算にはグレブナー基底というものがあるそうです。
代数体のイデアルの基底を求めるのに使えますか？

なぜか
３次体とかだけを扱った本とか、
４次体とかだけを扱った本とか、
６次体とかだけを扱った本などはないな。
いつも２次ばかり。

>>54
その理由が不明なわけ？

初等整数論講義

数論に関するすべての事柄を網羅した辞典があれば便利だな。歴史的な発展経緯もかかれているような。
これ一冊座右の書として持っていれば、後の本は捨てても良いみたいな。
１冊では無理なら、代数的整数論編、解析的整数論編、無理数と超越数編などのように３巻ぐらいの構成かな。

つまらないことばかり考えますね

知識は所有するものではなく習得するものだぞ

学習理論の基本

Weilの本

Weilのfor beginnersは、抽象代数を使って最速で初等整数論を終わらす本

Primes of the form x²+ny²

An Illustrated Theory of Numbers
には電子版はないみたいだね。

Nivenの本とか

個人的に薦めたいのは、高木貞治「初等整数論講義」かG.H.Hardy＆E.M.Wright著の「数論入門�T,�U」だね。
初等整数論の有名な話題ををある程度網羅しているし。

両者の違いを挙げてみる。

例えば、円分多項式の基本的性質、Z/nZの既約剰余類の乗法的構造や、一意分解整域ではない二次体の扱いなど
「初等整数論講義」では扱っているが、「数論入門�T,�U」では扱っていない。

逆に、wilsonの定理やwolstenholmeの定理の一般化や、擬素数やLucas–Lehmerテストのついての話題、
Felmatの2平方定理の「Gauss整数の性質を用いない」証明や、Von Staudt–Clausenの定理や
Bertrandの仮説のErdoesによる証明、Mertensの定理、正規数、素数定理の「初等的」証明など、
「数論入門�T,�U」では扱っていいるが、「初等整数論講義」では扱っていない。

要するに、代数的整数論に関心がある人は「初等整数論講義」、数論の諸々の話題、特に
解析的整数論に興味がある人は、「数論入門�T,�U」がお薦めかな。

やっぱり数論に特化した数論辞典が欲しいね。必要に応じて参考文献がキチンと
乗っているようなもの。将来はAIがいて、そのような辞典は滅びるのだといわれる
のかもしれないが、知識をしっかりと体系化してある時点で固定するということが
軽んじられてはつまらないことになりそう。ある日AIがすべて採算に合わなくなっ
たり、数学用の機能は全部カットやフィルターを掛けられたりしたら、AIに頼りす
ぎた国や組織や個人はみなダメージを被ってしまう。

代数的整数論を2次体の整数論とそれ以外に分けるのはなぜですか？

例えばどの本で？