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y(y^2+6) = 20(3-x^2) は有理数解を持たない。

y = 20 のとき、y^2+6 = 3-x^2 は成り立たない。
よって y = k20 のとき、y^2+6 = (3-x^2)/k とならない。

この証明は正しいですか?

正しくないです。