>>777 補足
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原隆（九州大）
九州大学2006,2007年春学期「数学II」「微分積分学・同演習A」への補足
より
Ｐ2
1はじめに
実数の構成法にはいろいろな方法がある．一つは「デデキントの切断」を用いるやり方，もう一つは「コーシー列の同値類」として構成する方法，
その他にも「区間縮小法」を用いる方法などがある．
このうち，最も簡潔なのはデデキントの切断を用いるやり方だろうから，以下の2章ではこれを解説する．
一方，コーシー列の同値類として定義する方法は実数のみならず，より高度な「完備な関数空間」の定義にも使え，現代解析学の大きな武器の一つとなっている．
そこで，この方法を3章で解説する．
（ただし，読者の大半が数学科ではない１年生である事を考慮し，「ノルム空間の完備化」については一切触れない．）
続いて，この２つの構成が同等なものである（実質的に同じ実数の集合を定義する）ことを4章で解説する.
最後に，実数は本質的に一通りに決まる事，つまり，実数の公理をみたす数の体系は本質的に一つに定まる事を5章で示す．

注
1実際，このノートの大半はできるだけ参考文献を見ないようにして，大学入学時の僕になったつもりで書きおろした．
（もう少し正確に言うと，このノートは高木本[7]，小平本[6]を参考にしてこの２冊を補完するものとして書き始めた．
しかしこれらの本では乗法や除法の前に極限を扱っており，これは講義の進め方とは異なる．
そこで結局，大半は自分で書き下す事になった．2章の前半が小平本に酷似しているのはそのせいである．）
敢えて書下ろした理由は，既存の参考文献があまりに「かっこ良く」まとまり過ぎており，それに影響されて僕のノートも変に「かっこ良く」なってしまうのを恐れたためである——そうなってしまえば，以下のノートの代わりに文献を読んでもらえば良いことになる．
その他に，以下で挙げるような参考書が手に入ったのはこのノートをほとんど書き終えてからだった，という実際的な理由もある

Ｐ24
3.2.2 同値類の実際の形
同値類がよく見えないという人もいると思うので，ちょっと余分なことを書いておく．
まず，上のお約束に従って，ゼロを表す同値類を考える：
N :=[{0}] :={ {an}n=1∞ | {an}は有理コーシー列で lim n→∞ an =0} (3.2.6)
ある有理コーシー列{bn}と同値な有理コーシー列{b'n}は lim n→∞ |bn −bn| = 0を満たす．
このとき，bn−b'nも有理コーシー列であるので，bn−b'n∈N であると言える．
逆に，{bn}が有理コーシー列の時，{an} ∈ N を持ってきてbn := bn+anを考えると，この{bn}は有理コーシー列でかつ，{bn}は{bn}と同値だと言える．
以上から，ある有理コーシー列{bn}の同値類は[{bn}] = {{bn +an} {an} ∈ N} (3.2.7)
と書ける事がわかる（{an+bn}とは第n項がan+bnである数列を表す）．
つまり，ある代表元にN に入っている数列を足したもの全体が，同値類になっているのだ．
(引用終り)

つづく