ガロア理論ってどう役に立つの

ガロア群がわかっても方程式解けないじゃん

良スレの予感

中間体の個数がわかる
どの元同士が共役なのかわかる
ガロア群がより単純な群で近似できる場合がある（たとえばFpの代数閉包のガロア群はlimZ/nZだが、その閉部分群はZからの自然な写像を通じてわかる）

働けゴミ

４次までの冪根公式なら対称群の組成成分の群行列式が与える因数分解公式から出る
いつの時代の発見か知らないが

k係数多項式fと、その分解体Kのガロア群Gal(K/k)がわかったら、何が言えるの

可解ではないガロア群を持つ方程式は四則と冪根操作で表示される
解を持たないことが判るから、そのような表示を求めて無駄な努力を
せずに済むのだ。可解なガロア群を持つことが判れば、その気に
なれば四則と冪根を用いた表示により解を表すことができるが、
そのように表示することが便利かどうかはまた別の問題だ。

ガロア群が巡回群であるとき、そのときに限り、べき根を一回用いた解表示が可能
可解群は、正規部分群をとる操作を反復して単位群まで縮小でき
その際、元の群を正規部分群で割った剰余群が巡回群となるもの
ガロア群が可解群なら、べき根を複数回用いた解表示が可能
具体的にそのような表示を求めることも、ラグランジュ分解式を用いることで可能

ただ、解を求める目的としては有用でないので
解が欲しいだけなら、ガロア理論なんか勉強せずに
複素解析とか勉強した方が有意義

むしろ最小多項式を変形して簡単な形にするほうに興味がある
グレブナー基底とかやればいいのだろうか

>>9 最小多項式って一意じゃないの？

愚かな者や心の曲がったものにはガロア理論は
の価値は理解できないものだといわれております。
如何でしょうか、このガロア理論の素晴らしさ。
まるで輝いているようではありませんか。
御気に召しませんか？