>>120 追加
>こんな話は、世の中 至る所に落ちていて

google検索：大学 pdf 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる
で、大学の講義用 pdf が見つかるよ
AIだけじゃなく 裏付けの検索能力を 向上させようね （＾＾

＜結果より抜粋＞
１）
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/
埼玉大学 大学院理工学研究科 数理電子情報専攻 数学プログラム 理学部 数学科
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井　敏純 のページ
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義ノートなど
集合と位相空間入門（2008年）の講義ノート
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Set_Topsp.pdf
集合と位相空間入門 福井敏純
P122
9.3 一様連続
定理9.3.3 Xを距離空間，Yを完備距離空間とする．Xの稠密集合Aからの写像f：A→Yが一様連続ならば，
fは写像F：X→Yに一意に拡張する．
更に，Fも一様連続となる
証明 概略のみ示す．x∈Xに収束するAの点列(an)をとる．点列(an)はCauchy列なので点列(f(an))もCauchy列であり，
ある点y∈Yに収束する．yは点列(an)の選び方によらずに定まる．■

２）
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~ryoki/indexJP.html
福島竜輝 筑波大学　数理物質系　数学域
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~ryoki/FA/FA.html
関数解析講義ノート
筑波大学で2020年度から2024年度まで担当していた「関数解析」の講義ノートです．
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~ryoki/FA/FALEC.pdf
関数解析講義ノート 福島 竜輝 March 28, 2025
P54
9.3 汎弱収束による点列前コンパクト性
・・・を満たすので，{xk}k∈N 上で一様連続です．
したがって距離空間の一般論
「稠密な部分集合の上で一様連続な関数は，一意的に全体に連続拡張できる」
を使って，ϕ:X →Cという連続線型汎関数が定まります．