ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

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前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

>>223
定理
代数方程式 f(x)=0（係数が体 K に属する）の解が、K の元を用いた四則演算と
べき根（すなわち、方程式 x^n - a = 0 の解）によって表せる（根号表示可能である）のは、
そのガロア群 Gal(L/K)（ここで ( L ) は ( f(x) ) の分裂体）が可解群であるとき、かつそのときに限る。

証明の概要
証明は以下の2つの方向に分かれます：

十分性：ガロア群が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。
必要性：解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。

以下では、まず十分性の証明を詳細に示し、次に必要性の証明を簡潔に説明します。
証明は、体の標数が 0 またはガロア群の位数と互いに素である場合を仮定します
（これは一般的なケースで、代数方程式の解の表現において問題となる有限体の場合を除外します）。

>>224
1. 十分性の証明（ガロア群が可解群 ⇒ 解が四則演算とべき根で表せる）

設定
f(x)∈K[x] は次数 n の既約多項式で、L は f(x) の分裂体（つまり、f(x) が L で完全に因数分解される最小の体）。
ガロア群 G=Gal(L/K) は可解群である。
すなわち、( G ) には正規系列 G=G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} が存在し、各商群 Gi/Gi+1 は巡回群（したがってアーベル群）である。
L/K は有限次ガロア拡大で、ガロア対応により Gi に対応する中間体 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L が存在する。
各拡大 Ki+1/Ki は、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群であるガロア拡大である。

証明のアイデア
可解群の正規系列に沿って、中間体のチェーンを構築し、
各ステップで解が四則演算とべき根を用いて次の拡大の根まで表現できることを示す。
特に、巡回群に対応する拡大は原始根の添加（べき根の添加）で記述できる。

>>225
ステップ1：巡回拡大の構造

まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。
巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します
（必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。

補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する
（つまり、α は Ki 上のべき根）。
さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含む場合、
拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、
α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。

補題の証明：
Ki+1/Ki は位数 ni のガロア拡大で、ガロア群は Z/ni に同型。
ガロア理論により、σ∈Gal(Ki+1/Ki) は σ(α)=(ζ‗ni^k)α（ζ‗ni は1の原始 ni 乗根、( k ) は σ に対応する整数）で定義される。
α^ni は σ によって固定される（σ(α^ni)=(σ(α))^ni=((ζ‗ni^k)α)^ni=α^ni より）。
よって、α^ni∈Ki。
よって、Ki+1=Ki(α) は x^ni−a=0（a=α^ni∈Ki）の解によって得られる。
この補題により、各 Ki+1/Ki はべき根の添加で構成できる。

>>226
ステップ2：拡大の連鎖

正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。
各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。
最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。

>>227
ステップ3：解の表現

f(x) の解は L の元であり、L は K から四則演算（体の基本演算）とべき根の添加の繰り返しで構成される。
各べき根 α は x^ni−a=0 の解であり、a∈Ki。
これを繰り返すことで、f(x) の根は K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。

>>225
補足：原始根の添加
（注：ここの箇所はGrokの文章を修正している
修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた
修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正
修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが
このままだと循環論法なので、以下文章を追加した）

もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、
ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。
(x^ni−1)/(x-1)のガロア群は(Z/ni)×と同型であり、可解群であるので
体Kiの標数が 0 もしくは (Z/ni)×の位数と素であるなら、
>>226-228のステップ１、２，３により、上記の方程式の解が
K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
（注：(Z/ni)×はZ/niと異なる）

>>224
2. 必要性の証明（解が四則演算とべき根で表せる ⇒ ガロア群が可解群）

設定
f(x)∈K[x] の解が、( K ) の元を用いた四則演算とべき根で表せると仮定。
つまり、解は体 K に有限回のべき根の添加で得られる体 M
（すなわち、M=K(α1,α2,…,αk))であり、αi^ni∈K(α1,…,αi−1)）
に含まれる。
L は f(x) の分裂体で、K⊆L⊆M。

証明のアイデア
べき根の添加で構成される体拡大は、ガロア群が可解群であるような拡大に対応する。
M/K のガロア群が可解群であれば、部分拡大 L/K のガロア群も可解群である（可解群の部分群および商群は可解）。

>>230
ステップ1：べき根添加のガロア群

各拡大 K(α1,…,αi)/K(α1,…,αi−1) は、αi^ni∈K(α1,…,αi−1) による拡大。
この拡大はクンマー拡大であり、ガロア群は巡回群（位数 ni のアーベル群）またはその部分群である（原始根が適切に含まれる場合）。
よって、M/K は一連の巡回拡大の合成であり、ガロア群 Gal(M/K) は巡回群の拡張として可解群である。

>>231
ステップ2：分裂体への制限

L⊆M であり、L/K はガロア拡大。
ガロア理論により、Gal(M/K)→Gal(L/K) は全射であり、Gal(L/K)≅Gal(M/K)/Gal(M/L)。
可解群の商群は可解であるから、Gal(L/K) も可解群である。