>>430
任意の a＞−1 なる実数aと任意の正の整数nに対して
γ(a,n)＝1＋…＋1/n−log(n＋a)
とおく。a＞−1 なる実数aを適当に選べば定義される第n項が
γ(a,n)＝1＋…＋1/n−log(n＋a)
なるγに収束する実数列 {γ(a,n)} 全体の空間 γ^N＝{γ(a,n)|a＞−1} に属する
実数列 {γ(a,n)} の全体の第n項 γ(a,n) a＞−1 にはすべて
調和数列 1＋…＋1/n の形の有理数が表れて有理数だが、
a＞−1 なる実数aの選び方によってγに収束する
実数列 {γ(a,n)}∈γ^N の第n項 γ(a,n) a＞−1 に表れる
自然対数 log(n＋a) n≧1 の値が有理数か無理数かは一定ではなく
有理数になったり無理数になったりと変化する(大抵は無理数になる)から、
γに収束する数列の空間 γ^N＝{γ(a,n)|a＞−1} に属する
実数列 {γ(a,n)} の第n項 γ(a,n) a＞−1 全体の形を考えれば、
すべての実数列 {γ(a,n)}∈γ^N の各項 γ(a,n) a＞−1 には
調和数列の形をした有理数のみが共通して表れる
適当に選んだ実数列 {γ(a,n)}∈γ^N a＞−1 の各項 γ(a,n) a＞−1 に表れる
自然対数の形をした実数 log(n＋a) n≧1 が有理数か無理数になるかは
a＞−1 なる実数aや正の整数nの選び方によって変わる
適当に選んだ実数列 {γ(a,n)}∈γ^N a＞−1 が単調減少列であるか
単調増加列であるかも a＞−1 なる実数aの選び方によって変わる
だから、γに収束する実数列 {γ(0,n)} の第n項
γ:＝γ(0,n)＝1＋…＋1/n−log(n) の形を考えれば、γは有理数と分かる
実数列 {γ(0,n)} について n→+∞ のときを考えれば、可算選択公理により、
γに対して或る相異なる有限個の正の整数が存在して
γはその相異なる有限個の正の整数の逆数和で表せることも分かる
任意の無理数が、第n項が γ(a,n)＝1＋…＋1/n−log(n＋a) a＞−1 なる
実数列 {γ(a,n)}∈γ^N a＞−1 の極限として定義されている訳ではない