以上と言ったが、最後に自分では有益だと思える話を。

p群がべき零なのは、p群の中心が単位元とは異なるためだろう。（べき零群は昇・降中心列と関連していたはず。）
p群の中心が単位元でないのは、類等式から示すのだろう。

今の心情で細かく調べるのは困難だから、もし違ったら訂正しておいてくれ、最後のお願いだ。

交代群の話で私は重要な指摘をした覚えがあるが、人にはそれぞれ専門というものがあるのだから、それに配慮しないのはどうかと思う。
1さんのスレでは基礎論に傾倒している方が多いように思えるが、私はどうも興味が湧かないので、突っ込まれる前においとまする。