なんで円周÷直径は一定なの？

円によって違うかも知れないじゃん

はたらけじじい

すべての円は相似だから

>>3
なんで相似な図形の辺の比は等しいの？

曲線の長さは結構高度な話題

元の図形の辺の長さがL1, L2で、a倍拡大したとしたら、拡大後の辺の長さはaL1, aL2になる

直線で囲まれてる場合は平行移動で拡大前後の辺を重ね合わせられるが、曲線の場合はどうするんだろうな？

「曲線の長さ」をどう定義するかを考えてみれば？

>>8
> 考えてみれば？

（笑）

>>9
>> 考えてみれば？
>
>（笑）

あほｗ

正n角形の極限n→∞を取ればよい

円周率が常に一定になるのは、すべての円が互いに相似な図形だからです。

どんなに小さい円でも、どんなに大きい円でも、形は全く同じです。拡大・縮小することで、一つの円を別の円に重ね合わせることができます。

相似な図形では、対応する辺の比は常に一定になります。円の場合、円周と直径の比がこれに当たります。つまり、円の大きさが変わっても、円周と直径の比率は変わらないため、円周率も一定になるんです。

このことは、古代ギリシャの数学者たちが発見しました。彼らは、様々な大きさの円を測定することで、この比率が常に同じになることを見出したんです。

すべての円が互いに相似　は　すべての円の円周率は一定　と何が違うの？

すべての円が互いに相似　を　円の定義から証明しないことには、何を問答してんのか分からんな

>>7
曲線は折れ線の極限で、極限と定数倍は可換だから、曲線でも成り立つ

>>13
円周率が一定から相似が示せるとでも思ってんの？

>>14
折れ線の極限って下からしか考えてないですよね？

>>16
そう思うなら自分で考えればいいじゃん

ここまで正確なし

内接正n角形でn→∞とすればいい

>>19
それって下からしか考えてないですよね？

>>1
遠くから見たら円は全部同じ

>>13
>すべての円が互いに相似　を　円の定義から証明しないことには、何を問答してんのか分からんな
数学は実感から発してるわけ
同じ円を遠くに持っていけば小さく見える
逆に別々の円を適当な距離に置けば完全に重なるわけ
そう考えなくても
半径1の円を描いて長さの単位を変えて考えて見たらいい
全部同じで長さだけ変わるわけ

>>20
近似で極限取るのって円周率を正確に計算する時だけ必要
そんな考え不要で
円周率が一定であることは理の当然てわけ

>>23
「円周率が一定であることは理の当然」って言うけど、それってちゃんと計算で示されてるからそう言えるんだよね？

昔の人はさ、円の中にどんどん角の多い多角形を内接させたり、外接させたりして、その周の長さを測って円周率を近似してたんだよ。多角形の角を無限に増やしていくと、それが円に限りなく近づくっていう「極限」の考え方を使って、円周率が3.14159…っていう値に収束することを突き止めたの。これってまさに「近似」と「極限」のオンパレードじゃない？

ライプニッツの公式とか、チュドノフスキーの公式とか、今でも円周率を高い精度で計算するのに使われてる公式も、みんな無限級数とか極限の考え方がベースになってるんだよ。だから、「極限取るのって円周率を正確に計算する時だけ必要」ってのも、まあそうなんだけど、その「正確に計算する」ってところに極限の考え方がゴリゴリに関わってるってこと。

「そんな考え不要で円周率が一定であることは理の当然」って言うのは、結果を知ってるから言えることであって、その結果にたどり着くためには、先人たちが極限とか近似を使ってすっごい努力をしてきた歴史があるってこと、忘れちゃダメだよね。

拡大しても縮小しても形が変わらないから比も変わらない

曲がった空間なら円周率は1にも10にもなる

目盛り付きゴムシートに描いた円を伸ばすと目盛りも一緒に伸びるから円周率は変わらない

円周率を３.14…で一定と決めて、今まで不都合が一度も起こらなかったから。

円周÷直径が一定なのは、理想化されたある特定の場合だが、いまのところそれが一番（数学的に）美しいと考えられている。
同等に美しく、円周の長さとか直径の長さとか、比とかが異なるような場合は、まだ発見/発明されていないだけかもしれない。
円周と半径の比率が1になるような美しい体系だって数学的には考えられないこともないだろう。τ=1の世界。

>>1
なぜ正方形の対角線と辺の長さの比が一定（√2）になるのか、っていう疑問は持たないの？

ピタゴラスの定理定期

ピタゴラスの定理が成り立つかどうかは、疑問に思わないの？

>>24
違うって言ってんのがわかんないのね

ユークリッドの原論では、円周の長さ
の定義をどうしていたかな？
半径と有理的な関係にないことは
おそらく薄々理解していただろうが、
その証明が出来たとは思えない。
重なり合うものは等しいとか、
相似なものの対応する角は等しいとか、
そういうことを円周や円周角に認める
ならば、円の周の一部とそれに対する
中心角とで、全周角の有理数倍の角度と
それに対応する円周の一部の曲線の長さ
や、面積などは上手く定義できただろう
けれども、肝心の円周率が無理数である
ことなどは証明が難しすぎて無理だろう。
二点を結ぶ曲線分のうちで最短のものは
直線分であるということもどうやって
証明ができるというのか。

＞なんで円周÷直径は一定なの？

実は球面上や双曲平面上では一定ではない（笑）

というかπを円周／直径で定義するのは美しくないので

c>0,s>0　c^2+s^2₌1　s/c=1/n　として
(c+i*s)^mの実部がマイナスになる最小のmを求めたときの
lim(n→∞)(2m/n)=π
と定義する

πが存在することを示せ　

c＞0,s＞0　c^2+s^2＝1　s/c＝1/n　として
(c+i*s)^mの実部がマイナスになる最小のmを求めたときの
lim(n→∞)(2m/n)＝π
と定義出来たと仮定する
仮定から、mは(c+i*s)^mの実部がマイナスになる最小値であって、
mは確かに存在し、mは固定されている
よって、lim(n→∞)(2m/n)＝0 であって、πの定義から π＝0 である
しかし、π＝0 なることは π≠0 に反し矛盾する
故に、背理法により、c＞0,s＞0　c^2+s^2＝1　s/c＝1/n　として
(c+i*s)^mの実部がマイナスになる最小のmを求めたときの
lim(n→∞)(2m/n)＝π
と定義することは不可能である

実数の座標を入れたりするのは、
ユークリッドの平面幾何の公理からでは
出て来ません。

円の定義を、中心から等距離ｒにある点の
集合であると決めると、たとえば球面
上での2点間の距離を二点を通る大円の
短い方の弧（測地線距離）であると
すると、半径が零に近いと円周と半径の
比は2πに近いが、半径ｒが増すにつれて
比の値は減少し、遂には0になってしまう。

円は大きさが違っても全て「相似」だから

公理を認めない人には説明出来ませんよね。

これなんで？