>>155
>つまり数学において「無限回の操作」なるものが認められていると？
>では認められている「無限回の操作」の例を一つでよいから示してみ

ふっふ、ほっほ
下記 無限公理がそれだよ
「（y∈×→（y∪{y}∈×）」の部分は、後ろの
ペアノ公理 Neumann 「s(a)=a∪{a}」と同じ意味で
ペアノ公理は、（気持ちとしては）帰納的集合として 後者関数 「s(a)=a∪{a}」を 無限回繰り返して 自然数N(無限集合)を得るが
公理的集合論としては、無限は ”Axiom of infinity”が必要だということ
これが、現代数学の無限の扱いのスタンダードです！
（余談だが、下記の「すべての帰納的集合の共通部分を取る」に 引っ張られて ”∩”を使う やついるが それまずいよ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Alternative method
＜google訳＞
代替の方法は次のとおりです。
Φ（×）「xは帰納的である」という式である。つまり
Φ（×）＝（∅∈×∧∀y（y∈×→（y∪{y}∈×）））
非公式には、すべての帰納的集合の共通部分を取ることになります。
より正式には、唯一の集合の存在を証明したいのです。
Wそういった
∀×（×∈W↔∀I（Φ（I）→×∈I））。（*）
存在については、無限公理と仕様公理スキーマを組み合わせて使用します。
I 無限公理によって保証される帰納的集合である。
そして、仕様公理スキーマを用いて集合を定義する。
W＝{×∈I：∀J（Φ（J）→×∈J）}– つまり
Wは、Iは、他のすべての帰納的集合の元でもある。
これは明らかに（*）の仮定を満たす。なぜなら、
×∈W、 それから
×はすべての帰納的集合に含まれ、
×はあらゆる帰納的集合に存在し、特に
Iなので、W。

一意性については、まず、(*)を満たす任意の集合はそれ自体が帰納的であることに注意する。なぜなら、0はすべての帰納的集合に含まれ、要素が
× がすべての帰納的集合に含まれるならば、帰納的性質により、それに続く集合も含まれる。
したがって、別の集合W′満足する（*）ならば、
W′⊆W よってWは帰納的であり、
W⊆W′よってW′は帰納的である。したがって
W＝W′。
ωとして このユニークな要素を表します。
この定義は、帰納法の原理が直ちに導かれるので便利です。
I⊆ωは帰納的であるならば、
ω⊆I、 となることによって
I＝ω。

Both these methods produce systems that satisfy the axioms of second-order arithmetic, since the axiom of power set allows us to quantify over the power set of
ω, as in second-order logic. Thus they both completely determine isomorphic systems, and since they are isomorphic under the identity map, they must in fact be equal.

つづく