>>169-170
(引用開始)
>{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
はい、大間違いです。
使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
君は、公理系の理解がサッパリだね
昔は、小学校のユークリッド幾何の公理で、公理系の考えを叩き込まれたものだった
君は、数学科１年の初日でオチコボレさんで、公理系の理解がサッパリくんで、昔の小学生以下だよ

一つの公理系の中で、使って良いのは そこで規定された公理のみ！
但し、規定された公理は、何回使ってもよい。無料でね！！ｗ　；ｐ）
但し、どの公理を どう使うかは、明示しなければならない！！！（下記 公理 ja.wikipedia）
かつ、ZFC公理の中では、命題は 集合の言葉で書かれるから どの公理を使ったかは自然に明記されるのです

『使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい』？
なんじゃ そらｗｗ　；ｐ）
下記の 公理 ja.wikipedia の全文を 百回音読してねｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86
公理（英: axiom）は、その他の命題を導き出すための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。
一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という[1] 。
ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準として区別していた。