（>>208より引用開始）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
は、{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす
もっとも小さい集合となっている
理解すべきはこれだけ
{0,1,2,・・・} であることではない
（引用終了）

定義
　{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び、xが帰納的集合であることをφ(x)と書く。
　Aを任意の帰納的集合とする。
　N:=∩{x⊂A|φ(x)}

補題１
　帰納的集合の族の共通部分は帰納的集合である。
　∀X:((∀Y∈X:φ(Y))→φ(∩X))
証明
　Xを帰納的集合の族とする。
　Xの任意の元（帰納的集合）は{}を持つから∩Xも{}を持つ。
　∩Xがxを持つなら、Xの任意の元（帰納的集合）もxを、従ってx∪{x}を持つから、∩Xはx∪{x}を持つ。
　以上で∩Xは帰納的集合の定義を満たしていることが確認された。

系１－１
　Nは帰納的集合。
証明
　Nの定義と補題１による。

定理２
　Nは任意の帰納的集合に含まれる。
証明
　Nの任意の元nを持たない帰納的集合Bが存在すると仮定。
　C:=A∩BはBの部分集合だからnを持たず、またAの部分集合且つ補題１より帰納的集合だからC∈{x⊂A|φ(x)}
　Nの定義よりNはCの部分集合のはずだからnを持たないはずであり矛盾。
　よってNの任意の元nを持たない帰納的集合は存在しない、すなわち任意の帰納的集合はNの任意の元を持つ、すなわちNは任意の帰納的集合に含まれる。

系２－１
　N上の命題関数P(n)が下記条件をすべて満たすなら∀n∈N(P(n))
　・P({})
　・∀n∈N(P(n)→P(n∪{n}))
証明
　M:={n∈N|P(n)}と定義。M⊂N・・・①。
　条件より{}∈M∧∀n[n∈M→n∪{n}∈M]だからMは帰納的集合。よって定理２よりN⊂M・・・②
　①と②よりN=M、すなわち∀n∈N(P(n))。
　これを数学的帰納法と呼ぶ。

(N,{},S(n):=n∪{n})がペアノの公理の残りを満たすことは容易に示せるだろう。