>>77
>内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ　；ｐ）
下記の東北大 尾畑研 ”2.3 ラッセルのパラドックス”を 百回音読してねｗ （＾＾

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_02.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第2章 集合

P32
2.3 ラッセルのパラドックス
19世紀末から20世紀初頭にかけて数学は論理に帰着しうるという思想(論理主義)が盛んになった
その最初の論客はフレーゲであったフレーゲは論理主義の立場から自然数論と実数論を純粋に論理から組み立てようとして「算術の基本法則」(1893)を著した
広くは読まれなかったようであるがこの本を手にしたラッセルはフレーゲに書簡を送り後年ラッセルのパラドックスと呼ばれることになる矛盾を指摘した(1902年)

ラッセルは述語論理を用いて矛盾を指摘したがそれを集合の言葉に翻訳すると次のようになる
まず集合は次の2種類に分類できる
第I種 自分自身をその元として含む X∈X
第II種 自分自身をその元として含む X not∈X
第I種集合としては例えば「すべての集合の集合」「食べられないものの集合」「無生物の集合」などが考えられる
ここで第II種集合をすべて集めてでき
る集合をKとおこう つまり
K={X | X not∈X}
Kは第I種であるかあるいは第II種であるかのいずれかである
まずは第I種ではない なぜならば第I種であれば K ∈Kが成り立たねばならない
が集合Kの定義から このようなKは 集合Kの元にならないので K not∈K
となる これはKを第I種であるとした初めの仮定に矛盾する ならばKは
第II種集合だろうか Kが第II種集合であればその定義からK not∈K
この性質をもつ集合は 集合Kの定義(2.9)によってにK属するからこの
性質をもつ集合は集合の定義によってに属するから K ∈K
略
ラッセルは「型理論」(1903)によってパラドックスを解消しその後ホワイトヘッドとの共著
「数学原理」(1910-1913 全3巻 2000ページに迫る大著によって高階述語論理上で全数学を
展開するという取組みを推進した
略
ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった
矛盾を引き起こした問題を先送りして根本的解決から逃げてしまったようにも見えるが
多くの人々の努力によって現代数学を展開する上で十分な自由度が確保された集合論が出来上がっている
なお集合の公理については第節で少し触れることにする