リー代数って何の役に立つの？

何の役にも立たないよねえ

爺も何の役にも立たねー

ルーを作るとき便利

飯を食ったり賞をもらったりするのに役立つ
例：Prof. Kashiwara

ルジャンドル陪函数の幾何構造の記述
cf. 山内・杉浦

Lie代数特に古典型の半単純Lie代数のルート、ウェイト、ディンキン図形、既約表現など
初めて学ぶ者にとって最も大事なことは最も単純な基本的なアイディアをつかむこと
初学者の困難は、Cartan部分代数とその双対をキリング形式により同一視すること。これによりどっちがどっちなのか分からなくなる。結果として理解することを諦めることになる
Lie群およびその表現は世の中の様々な対称性を記述する。素粒子物理学において根本的な役割を果たす
無限小を見ているだけのLie代数が大域的なLie代数を決定する。これが有用性の一端である

リー群ではなぜ二価表現は出てくるのに
三価表現とか五価表現のようなものは
出てこないのだろうか？

ラカー代数は量子力学で重要

リー代数はリーが常微分方程式の
初等解法に関係して考えたものじゃ
なかったかな。モデルとなったのは
代数方程式の代数解法（冪根解法）
とガロア群の理論。