複素数体Cの部分体Kで、C/Kが有限拡大となるものは、実数体R以外に存在しますか？

教えて下さい

C/Rは二次拡大だから、非自明な中間体はない
したがって、そのようなKがもし存在するならRを含まないだろう

>>2
それを聞いてるんだと思いますよ
Rの部分体SでR/Sが有限拡大だってものを

Rの自己同型は自明のみだが
（演習）

>>4
なるほど
もし存在したらC/(K∩R)にガロア理論使うと
Gal(C/K∩R)/Gal(C/R)～Aut(R/K∩R) = {id}
でおかしなことになるのか

R/Kが正規拡大とは限らない

K＝代数的数体の場合もC/Kは超越拡大

>>7
まあ、そりゃそうでしょう

完備アルキメデス付値体の一意性？

あてずっぽう？

あげ

KがQにある超越数Tを添加した体Q[T]だと
どうなる？

CはQ上超越次数無限大

Qの拡大のうちC未満のものに、ツォルンすればいいんじゃないの

QじゃなくてQ(√-1)か

ℂ/ℚ の中間体 ℂ⊃L⊃K⊃ℚ を L/K が有限次 Galois 拡大であるものを選んでおく。このとき制限写像の引き起こす準同型 π:Gal(ℂ/K ) → Gal(L/K ) は全射で kerπ = G、M = ℂ^G ( = M の固定体) とすれば ℂ/M は有限次 Galois 拡大で Gal(ℂ/K ) は Gal(L/K ) と同型になる....ような気がする。

K=Cとすれば、C/Kは有限次拡大になる。

KとしてQにすべての超越数を添加した
体を考えたらどうだろうか。

K = Q(√i)以上C未満の極大の中間体（ツォルンの補題から取れる）としても、C/Kが代数拡大とは限らないな

うむ
ツォルンで言えるのはC未満の極大の中間体の存在だけだから拡大次数を含む具体的なことは何も言えない

たしかに

ℂ/ℚ の超越基底 X とその元 x∈X を選んで Y = X ＼{x} とする。
K = (ℚ(Y) の代数的閉包) = { c∈ℂ; c は ℚ(Y) 上代数的 }
とするとき
(1) x は K 上超越元、とくに K(x) は K 上の一変数有理関数体
(2) ℂ/K(x) は代数拡大
になるのではなかろうか？そしたら結構 Gal(ℂ/K(x)) はでかい群になりそうだけど。