Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 76
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1759924222/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
About the study of IUT by Ivan Fesenko http://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/rapg.pdf https://ivanfesenko.org/?page_id=80
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

＞日本は核武装すべき
＞核廃絶なんて絶対実現することのない夢物語
＞この世から戦争が無くなるとしたら、
＞それはすべての国が核武装したときだけだろう
＞核こそが平和をもたらす

とかほざくヤツに中性子線を浴びせたい（笑）
まあ、DNAはバラバラになるでしょう
その結果・・・おや、誰か来たようだ

日本人ファーストをレイシズムだの差別だの排外主義だのと言う連中が居るが、そいつらに問いたい。
日本国の存在はレイシズム・差別・排外主義か？
もし違うと言うなら日本国の定義と存在意義は何か？

世界中から国家というものがなくなることを期待する
日本なんてただの地名になればいい

ちなみに日本とは東の意味で、もちろん中国から見たときの方角

中国という国名に対して「世界の中心なんて自己中心的でけしからん」という人が
そういう自己中心的な国から見た方角に過ぎない国名を喜々として叫ぶのを見ると
心底馬鹿だなあと思う（笑）

＞日本国の存在はレイシズム・差別・排外主義か？

はい
（完）

>とかほざくヤツに中性子線を浴びせたい（笑）
ほらね、こういう基地外が居るから抑止力として核武装が必要なんだよ（笑）

日本に限らず国家というものは自民族至上主義、差別、排外主義そのものである
だいたい、人類は共通の種であるし、数万年前は同じアフリカにいたのである
たかだか言葉と見かけの違いくらいで「俺が上だ」と言い合うなんてエテ公と同じ

ああ、ヒトは生物学的にエテ公でしたか（笑）

>>169
じゃあ日本を無くすよう努力しろよ　デモでも集会でもおまえが国会議員になるでも何でもいいから
それができない無能ならせめて日本から出てけよ

>>170
核なんか持ってても抑止力にならない

いきなり隣のヤツにぶん殴られることを核兵器で抑止できるか？（笑）

やめとけ

世界中の人がそれぞれ自分の国をなくすように努力するときっといいことがある（笑）

ここでも国家をありがたがるヤツは反社のゴロツキである

そういうヤツがカタギの衆を脅かしてみかじめ料（税金）をせしめるのである（笑）

国家を潰すコツ

１．国家のいうことに表向きはいはいといいつつ、絶対にその通りにしない
２．国家に対して本当のことをいわず、ウソをつく
３．国家からヤなことを押し付けられそうになったら、まよわず逃げる

世間でいう「良いこと」の逆を、国家に対して行えばいい（笑）

>>171
だからー　口だけじゃなく行動しような
おまえが国連トップになって国連軍を編成して日本に宣戦布告して日本を壊滅させて日本解体を実行しろよ
まさかできもしない夢を見てんのか？　どこの乙女だよｗ

>>176
コツ掴んでるのに潰せないのはなぜ？

ぎゃーぎゃーほざく奴は日本から出てけばいいんだって
日本が嫌いで日本が無くなれば良いと思ってるのになぜ日本にしがみついて生きてんの？

日本が無くなるべきと思ってるのに日本にしがみついて生きている
壮大な自己矛盾で草

ここに投稿してることが日本にしがみついてる証拠
しがみついてないなら他国のBBSに行くはず

粒子の飛び散るあとまで戦うさ。

内政も秩序だね。国に帰れば？

核抑止力について考えるのは結構だが
最重要の一歩は
被爆者の気持ちを理解すること

日本は無くなるべきという主張を日本語で表明するの草
日本語を自由に使える恩恵にあずかっとるやないかいｗ
中国に侵略されたら日本語禁止やで

>>184
だからー
被爆者の気持ちを最大限汲んで、被爆の悲劇を二度と起こさせないため、その抑止力として核武装すんの
先の大戦で仮に日本が先に核武装に成功していたら世界初の被爆国になったであろうか？

アメリカに占領されても日本語禁止にはならなかった

世界中の国という国が核武装したら、誰か戦争する気起きる？
プーチンとかいうならず者は相手が弱小国と思うから戦争するんだろ？

ノーベル平和賞により世界的な発言の機会を得た
被団協は
核廃絶を訴えている。
この事実を踏まえたうえで
核武装の論拠を示すべきだろう。

中共に侵略された新疆自治区は民族浄化されとるで

被団協がノーベル平和賞を受賞しても北は核放棄しない
いくら日本が核廃絶を叫ぼうが実現できない夢物語なんだって
それが分からない頭お花畑族を左翼と云うｗ

侵略も占領も子供という見返りを求めてなされる。日本人は報復でありまし。

卵をさらうなんて日本人にはできない。移民や外国人の帰化。

核廃絶が実現できるならこんな素晴らしいことは無い
ユートピアが実現できるならこんな素晴らしいことは無い

左翼はいつも夢物語を夢見て現実を見ないｗ

数字の傾向ですら暴露。

>>被団協がノーベル平和賞を受賞しても北は核放棄しない

もちろんその現実も踏まえたうえで
必要とあれば矛盾の止揚を試みねばなるまい。

左翼といえどもヘーゲルやサルトルを読まないわけではなかろう

＞日本は無くなるべきという主張を日本語で表明するの草

国家と言葉は無関係

東南アジアの少数民族にも当然言葉はあるが、
共通する言葉毎に国家があるなんてことはない

隔対核。カモられているのは諸外国。巣鴨のカモの談話。

＞抑止力として核武装

核武装したら核戦争解禁
だれが抑止するかバカ

モードの波をオーロラみたいに届けよう。隔離カーテン。

＞世界中の国という国が核武装したら、誰か戦争する気起きる？

全面核戦争で人類絶滅する

核があれば必ず使う

人は自分が死んでも相手を滅ぼしたい●違いだから必ず使う

それがエテ公の本能（笑）

>国家と言葉は無関係
じゃあ中国でウイグル語が禁止されてるのはなぜ？

>核武装したら核戦争解禁
人類史において核武装国が核攻撃受けたことある？

>だれが抑止するかバカ
バカはおまえ

>人は自分が死んでも相手を滅ぼしたい●違いだから必ず使う
使えば反撃されて自分が滅びることになるから必ず使わない
人類バカにしすぎｗ

おまえが思うほど人類はバカじゃない
バカはむしろおまえ

だから対角で自分が落ちてるから相手を下げるが負け型。自分が犠牲になるなら相手が上がる勝ち型だろ。

犠牲の祈りは狂人かもしれないが見直される答案みたいなもの。

仮におまえが正しくて、人類がおまえの言う通りのバカならば、そんな人類は滅んだ方が良いｗ
どっちに転んでも核武装が正解　核武装論圧勝ｗ

相手の運命線を絶つより助力すること。

子供が相手に受け入れられないならナンパにでもつるんで繰り出せ。生徒たち。憎しみは成る出合いではない。

不幸より幸せを増やしなさい。

憎しみが頭脳に浮かんでもそれは心ではない、原爆は脳神経の異常。

神経科で治療してあげようか。内科だから怖くないよ。頓服も怒りを鎮める。

パンデミックな原爆頭脳の社会病。

プーチンは喉から手が出るほど勝利が欲しい
負ければ戦犯として処刑されるから　勝てば官軍負ければ賊軍
そのプーチンですら核を使わない
おまえが思うほど人類は愚かでない

治療が必要。買わないもらわない使わない使わない噂をしない。目を信じる段階。処理は可能だから積んどけ。租税を。そのほうが取り残されない。

犯罪には無法や許しがあるが罪は永遠に消えない罰にがある。

生徒に本当の恐怖を教授する教師が減ったなあ。

もちろん愚かな連中もいる
毛沢東、スターリン、ポルポト、・・・

原バグ。

教授へ問　バグるっていうのはどういうことが身を持って示せ。高尚なバグと下品なバグを比較しながら。

>>91
それ判定基準非公開のやつだろw

>>222
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
ありがとうございます。
スレ主です
今後ともよろしくお願いいたします

>>224
>死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
この人はセタと呼ばれている人の別アカなの？

>>223
>それ判定基準非公開のやつだろw

まあな だが
１)下記の”審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの”
　という形式的な要件を満たす論文が出現して はじめて
　「どういう 判定基準？」が問題となる
２)もっと言えば、ノーベル賞であれ フィールズ賞であれ
　その審査過程が 直ちに公開されるわけではない
　例えば、噂だが ペーター・ショルツェ氏は、１年前に当確とされて
　他は、なかなか決まらないと ５ｃｈに書かれたことがあったよ

もどると 要するに
上記１)を満たす IUTダメ出し論文が２本３本と投稿され 掲載される情勢になっている場合には
『IUT Challenger Prizeを出さないのは なぜだ？！ 判定基準は？』となるべきだが
IUTダメ出し論文が皆無なのに、判定基準を議論するのは ”ため”にする議論だろうよ

https://ameblo.jp/winning-english/
勝負するビジネス英語ノート
「ためにする議論」「自己目的化」など 20201129
まず" just for the sake of it "です。知っているけれどもあまり使っていないと言う人も結構いらっしゃるのではないでしょうか
「ためにする議論だ」とか「〜だけのためにやる必要はない」といった会話に活用できます
もちろん"just becaseu xxx"などを使って表現することもできるのですが、「目的を失って形式に走っている」というニュアンスが強く出ます
ためにする議論に費やす時間はない。・・・We don't have the time for argument just for the sake of it.

https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介
(抜粋)
2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたものに限ります

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
2018年(リオデジャネイロ)
コーチェル・ビルカー(Caucher Birkar, 1978年 - )
「For the proof of the boundedness of Fano varieties and for contributions to the minimal model program. 」
アレッシオ・フィガリ(Alessio Figalli, 1984年 -)
「For contributions to the theory of optimal transport and its applications in partial differential equations, metric geometry and probability. 」
ペーター・ショルツェ(Peter Scholze, 1987年 - )
「For transforming arithmetic algebraic geometry over p-adic fields through his introduction of perfectoid spaces, with application to Galois representations, and for the development of new cohomology theories. 」
アクシェイ・ヴェンカテシュ(Akshay Venkatesh, 1981年 - )
「For his synthesis of analytic number theory, homogeneous dynamics, topology, and representation theory, which has resolved long-standing problems in areas such as the equidistribution of arithmetic objects.

お前みたいなアホ躍らせるためだけのゴミだよ
踊っとけやカス

マンマと踊らされて数学界に迷惑だけかけてるゴミ
とっとと消えろ能無し

>>135
お前は死ね

>>138
おめでたいクズ
とっとと中国に帰れよ

>>234
>君が真っ先にやるべきことは、下記の
>数学セミナー 　2025年3月号の
>池上大祐「集合論の雑学――無限についてのおはなし
>フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
>グロタンディーク宇宙と到達不可能基数」
>を 読んで 内容を確認することだ
あなは確認してないんですね
つまり彼は「現状では グロタンディーク宇宙は必要」とは書いておらず
あなたがそう信じているというだけです
あなたはいつものように
何が書かれているかを理解しようとせず
自分に都合のよいように解釈しているに過ぎません

>>234
>”セタと呼ばれている人”が 誰なのか？
>正確には知らない　
あなたのことです

>>234
その池上先生の記事も読み間違って意味取れてないんだよ落ちこぼれ
どこまで能無しやねん役立たずwww
お前何ができるんやゴミwww

そもそもFLTの証明にGalos表現上のFunctor Categoryまで使われてたとしても(そこまですら使われてないが)当然ℂGal(ℚ̅/ℚ)-module がskeletally smallだからuniverseなんぞ持ち出すまでもないわ
なんもわからんくせに知ったかすんなゴミ
お前の持ってる数学上の知識で俺に勝てるもんなんか何一つないわゴミ

>>233
前スレの連投も含めて
運営に 君のアク禁依頼を出したので
首を洗って待て

Я прасіў забараніць доступ адміністратара,
у тым ліку ў некалькіх паведамленнях у папярэдняй тэме,
таму, калі ласка, набярыцеся цярпення.

>>234
>もう何回目だろうか？ 5回目くらいかな
>その間 君みたいなアホな 突っ込みは無かったなｗ
ツッコミがない＝間違っていない
ですか？
公理を削除する＝公理の否定
みたいな誤解ですよそれ

>>235-238
ふっふ、ほっほ

一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）
不勉強、言い訳だけは、いちょまえ
オチコボレ、言い訳だけは、一流だ （追加）

>つまり彼は「現状では グロタンディーク宇宙は必要」とは書いておらず

数学セミナー 　2025年3月号 池上大祐
を、書棚の肥やしの中から引っ張り出してきた　（＾＾

池上大祐の書いている趣旨は
1）フェルマーの最終定理には、グロタンディーク宇宙を仮定した
　代数幾何の理論（圏論）が使われていた
2）彼は、文献[3]を挙げて
　『代数幾何の基礎理論についての基本文献（の一部）であるSGAで行われている議論は、（可算ではないグロタンディーク宇宙の存在を仮定せずに）ZFCあるいはそれよりも弱い集合論の公理系で展開できる』
　とColin McLartyは 主張していると説く
3）しかし、池上大祐氏は 彼自身は フェルマーの最終定理の証明を精査する知識がないので「わかりません」が私の回答だという
（文献[3]：Colin McLarty,The Large structures of Grothendiek founded on finite-order arithmetic. Rev.Symb.Log.13(2020)no.2,296-325）

さて、まとめると
・ワイルズのフェルマーの最終定理は、グロタンディーク宇宙を仮定していて
　SGAなどの代数幾何の理論が使われている （だが、SGAが全てではない）
・文献[3]の主張が正しいと仮定して、SGAの全てが グロタンディーク宇宙の仮定なしで言えたとしても
　では、ワイルズの証明のSGA以外の部分がどうなるのか？ それは 文献[3]の射程がどこまでかだ
・池上大祐氏の回答 ：（2025年3月号時点において）「わからない」は、いまだ有効だってことだ■
（ワイルズの証明は グロタンディーク宇宙の仮定ありで SGA以外の部分も含んでいるのだから）

>>243
その通り
彼は「分からない」としています
>1）フェルマーの最終定理には、グロタンディーク宇宙を仮定した
>　代数幾何の理論（圏論）が使われていた
正確には
「グロタンディークが展開した代数幾何の基礎理論（スキーム論ですかね）を用いるため、宇宙の公理、とくに、可算でないグロタンディーク宇宙の存在を仮定していることになります」
ですが
スキームを使う上でグロタンディーク宇宙が必要ということではないのでは？
あれば対象を集合に「制限して」集合論的な困難を回避できるかも知れませんが
なくてもそれは回避できるとのことですよ
グロタンディークがグロタン宇宙を前提にスキーム論を展開した
ことを
スキーム論にはグロタン宇宙が必要
と誤解していますね

>>243 補足
検索してみると (google検索)：
Colin McLarty,The Large structures of Grothendiek founded on finite-order arithmetic. Rev.Symb.Log

で、結果は下記
＜検索結果＞
The large structures of Grothendieck founded on finite ...
arXiv
https://arxiv.org › math
このページを訳す
C McLarty 著 · 2011 · 被引用数: 14 — We formalize the practical insight by founding the theorems of EGA and SGA, plus derived categories, at the level of finite order arithmetic.
含まれない: Rev. ‎Symbol.

the large structures of grothendieck founded on finite order ...
ResearchGate
https://www.researchgate.net › 277...
このページを訳す
2025/08/09 — Abstract. THE LARGE STRUCTURES OF GROTHENDIECK FOUNDED ON FINITE ORDER ARITHMETIC - COLIN MCLARTY. ResearchGate Logo ... large structure ...

Colin Mclarty, The large structures of grothendieck founded ...
PhilPapers
https://philpapers.org › MCLTLS
このページを訳す
C Mclarty 著 · 2020 · 被引用数: 14 — We reduce the gap by founding all the theorems of Grothendieck's SGA, plus derived categories, at the level of Finite-Order Arithmetic, far below ZFC. This is ...
含まれない: Symbol. ‎| 必須にする: Symbol.

the large structures of grothendieck founded on finite-order ...
Semantic Scholar
https://www.semanticscholar.org › ...
このページを訳す
Abstract The large-structure tools of cohomology including toposes and derived categories stay close to arithmetic in practice, yet published foundations ...
含まれない: Rev. ‎Symbol.

Reverse mathematics of (co)homology?
MathOverflow
https://mathoverflow.net › questions
このページを訳す
2010/01/17 — @hm2020: One was published as McLarty, Colin, The large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic. Rev. Symb. Log. 13 ...
回答 3 件
ベストアンサー:
I don't have Hartshorne, so I can't address the specifics of this case. However, there is ...

つづく

つづき

arXiv:1102.1773v4 [math.LO] 30 Apr 2014
arXiv
https://arxiv.org › pdf
PDF
C McLarty 著 · 2011 · 被引用数: 14 — This paper removes the objection by proving the large structure theorems at the logical level of finite order arithmetic. Finite order ...
含まれない: Symbol. ‎Logo

The Review of Symbolic Logic: Volume 13
Cambridge University Press & Assessment
https://www.cambridge.org › journals
このページを訳す
ASL Core logo black. Published on behalf of Association of Symbolic ... THE LARGE STRUCTURES OF GROTHENDIECK FOUNDED ON FINITE-ORDER ARITHMETIC · COLIN MCLARTY.

A Finite Order Arithmetic Foundation for Cohomology
Case Western Reserve University
https://artscimedia.case.edu › Derived_functor
PDF
C MCLARTY 著 · 被引用数: 7 — Grothendieck pre-empted many set theoretic issues in cohomology by positing a universe: “a set 'large enough' that the habitual operations of set theory do.
含まれない: founded ‎Symbol. ‎Logo

How strong a set theory is necessary for practical purposes ...
MathOverflow
https://mathoverflow.net › questions
このページを訳す
2020/05/14 — Colin McLarty has looked into this. The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 ...
回答 1 件
ベストアンサー:
Colin McLarty has looked into this The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) ...

つづく

つづき

（追加）
https://mathoverflow.net/questions/360290/how-strong-a-set-theory-is-necessary-for-practical-purposes-in-sheaf-theory
How strong a set theory is necessary for practical purposes in sheaf theory?
asked May 14, 2020 at 0:09
user158035

1
Thank you David. This paper of McLarty's is really remarkable, and seems to be what I asked for, and then much more as well. –
user158035
CommentedMay 14, 2020 at 15:24
does that mean the Fermat's last theorem can be proved in MacLane set theory (i.e. bounded Zermelo)? –
Zuhair Al-Johar
CommentedMay 14, 2020 at 18:38

@Zuhair absolutely, and weaker foundations; this was the motivation for the paper. –
David Roberts
♦ CommentedMay 14, 2020 at 20:45

(google訳)
1
デイビッドさん、ありがとうございます。マクラーティさんのこの論文は本当に素晴らしいです。私が求めていた通りの内容で、それ以上のものでした。
ユーザー158035
コメントした2020年5月14日 15時24分

それはフェルマーの最終定理がマクレーン集合論（つまり有界ツェルメロ）で証明できることを意味しますか？
Zuhair Al-Johar
コメントした2020年5月14日 18時38分

@Zuhair まさにその通りです。そして基礎が弱いのです。これがこの論文の動機でした。
デビッド・ロバーツ
♦
コメントした2020年5月14日 20時45分
(引用終り)

こんなところに、デビッド・ロバーツが
それはフェルマーの最終定理がマクレーン集合論（つまり有界ツェルメロ）で証明できることを意味しますか？
@Zuhair まさにその通りです。そして基礎が弱いのです。これがこの論文の動機でした。
か・・・ 果たして・・・ （＾＾
以上

>>243
お前にまとめられるわけないやろカス
俺の書いてる話1ミリもわからんくせに何いうとんじゃ能無し
fltの証明にグロータンディックのユニバースなんぞ1ミリも使われとらんわ
その記事にある意味はグロータンディックユニバース使えばちょっと細かい議論を回避できん事もない程度の意味しかないわカス
お前にfltの証明レベルの話が理解できるわけないやろゴミ

>>245 追加
(google検索)：
Colin McLarty,The Large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic. Rev.Symbol.Logo
＜AI による概要＞
Colin McLarty's paper, "The Large Structures of Grothendieck Founded on Finite-Order Arithmetic," published in the Review of Symbolic Logic in 2020, argues that the complex tools of Grothendieck-style algebraic geometry, such as toposes and derived categories, can be founded on the much weaker system of finite-order arithmetic, rather than the stronger ZFC set theory typically used for such foundations. This research aims to close the foundational gap by showing that these powerful "large structure" tools only require a significantly weaker logical strength to be established, with one specific topos of sets already requiring this level of strength.
・Core argument: McLarty demonstrates that the theorems of Grothendieck's Éléments de géométrie algébrique (EGA) and Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA), along with derived categories, can be formally grounded using finite-order arithmetic.
・Weakest possible foundation: The paper establishes that finite-order arithmetic is the weakest possible foundation for these tools because even a single elementary topos of sets with infinity is already this strong.
・Implication for set theory: This finding implies that one does not need the full strength of ZFC, which is stronger than finite-order arithmetic, to prove the consistency of these large structures. The work shows that their foundations can be established with axioms that have the same proof-theoretic strength as finite-order arithmetic, which Zermelo set theory (Z) proves is consistent.
・Practical insight: The work formalizes the practical insight that tools of cohomology, while theoretically requiring large structures, often stay close to arithmetic in their actual application.
・Publication details: The paper was published in the Review of Symbolic Logic (Volume 13, Issue 2, 2020), with the doi: 10.1017/s1755020319000340 and can be found on arXiv as paper 1102.1773.
（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）

つづく

つづき

（追加）>>247より
https://mathoverflow.net/questions/360290/how-strong-a-set-theory-is-necessary-for-practical-purposes-in-sheaf-theory
How strong a set theory is necessary for practical purposes in sheaf theory?
asked May 14, 2020 user158035
Is it known how much of ZFC is actually necessary for the basic, familiar constructions and theorems in sheaf theory, along the lines of section II.1 (and its exercises) in Hartshorne's "Algebraic Geometry" textbook?

1 Answer
Colin McLarty has looked into this
The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) pp. 296--325, doi:10.1017/S1755020319000340, https://arxiv.org/abs/1102.1773
with abstract (emphasis added):
The large-structure tools of cohomology including toposes and derived categories stay close to arithmetic in practice, yet published foundations for them go beyond ZFC in logical strength. We reduce the gap by founding all the theorems of Grothendieck’s SGA, plus derived categories, at the level of Finite-Order Arithmetic, far below ZFC. This is the weakest possible foundation for the large-structure tools because one elementary topos of sets with infinity is already this strong.
answered May 14, 2020
David Roberts♦
(引用終り)
以上

>>249 追加
(google訳)（一部手直し）
＜AI による概要＞
コリン・マクラーティの論文「有限階算術に基づくグロタンディークの大規模構造」は、2020年の記号論理学のレビュー、グロタンディークスタイルの代数幾何学の複雑なツール、例えばトポスや導来カテゴリなどは、そのような基礎付けに通常使用される強力なZFC集合論ではなく、はるかに弱い有限階算術体系の上に成り立つと主張している。この研究は、これらの強力な「大規模構造」ツールが確立されるには、はるかに弱い論理的強度しか必要とせず、特定の集合のトポスがすでにこのレベルの強度を必要としていることを示すことで、基礎的なギャップを埋めることを目指しています。
・中心的な議論:マクラーティは、グロタンディークの幾何学計算手法( EGA ) とボワマリー関数セミネール( SGA ) の定理が、derived categoriesとともに、有限階数の算術を使用して形式的に根拠づけられることを示しています。
・最も弱い基盤:この論文では、無限集合の単一の基本トポスでもすでにこのくらい強力であるため、有限階数算術はこれらのツールにとって最も弱い基盤であるとしています。
・集合論への示唆：この発見は、これらの大規模構造の無矛盾性を証明するために、有限階数算術よりも強いZFCの完全な強さを必要としないことを意味する。本研究は、有限階数算術と同等の証明論的強さを持つ公理によってこれらの構造の基礎を確立できることを示しており、有限階数算術はツェルメロ集合論（Z）によって無矛盾性が証明されている。
・実践的な洞察:この研究は、コホモロジーのツールは理論的には大規模な構造を必要とするものの、実際の応用では算術に近いことが多いという実践的な洞察を形式化しています。
・出版の詳細：この論文はReview of Symbolic Logic（第13巻、第2号、2020年）にdoi：10.1017/s1755020319000340で出版され、arXivでは論文1102.1773として見つけることができます。

>>249 追加
>Founded on Finite-Order Arithmetic

日本語では 有限階算術（あるいは高階算術か） とでもいうのか？
Second-order arithmetic、2階算術は 日本語であるようですが

”Finite-Order Arithmetic”は、不勉強で初耳です
英語検索でも、”Finite-Order Arithmetic”は あまりヒットしないす ；ｐ）

でも、私は 高階論者でして
「人の思考は 一階論理に縛られない」と思っています　（＾＾
そういう意味で、

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_arithmetic
Second-order arithmetic
In mathematical logic, second-order arithmetic is a collection of axiomatic systems that formalize the natural numbers and their subsets. It is an alternative to axiomatic set theory as a foundation for much, but not all, of mathematics.

A precursor to second-order arithmetic that involves third-order parameters was introduced by David Hilbert and Paul Bernays in their book Grundlagen der Mathematik.[1] The standard axiomatization of second-order arithmetic is denoted by Z2.

Second-order arithmetic includes, but is significantly stronger than, its first-order counterpart Peano arithmetic. Unlike Peano arithmetic, second-order arithmetic allows quantification over sets of natural numbers as well as numbers themselves.
Because real numbers can be represented as (infinite) sets of natural numbers in well-known ways, and because second-order arithmetic allows quantification over such sets, it is possible to formalize the real numbers in second-order arithmetic. For this reason, second-order arithmetic is sometimes called "analysis".[2]

https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E7%AE%97%E8%A1%93
巨大数研究 Wiki
二階算術

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析学の結果を反映している。
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。

>>252 補足
用語について
・高階算術
・finite order arithmetic
・Higher-order logic
・Higher order arithmetic by Colin McLarty自身 2014 mathoverflow

(参考)
http://www.aichi-gakuin.ac.jp/~yamasita/slides/wakate_izawa.pdf
高階算術における抽象論
井澤　昇平
東北大学理学研究科数学専攻
数学基礎論若手の会’１０
Contents.
1 Introduction.
2 Definition of axioms of finite order arithmetic.

検索＜higher order arithmetic＞
https://arxiv.org/abs/2308.15288
[Submitted on 29 Aug 2023]
Conservativity of Type Theory over Higher-order Arithmetic
Benno van den Berg, Daniël Otten

https://en.wikipedia.org/wiki/Higher-order_logic
Higher-order logic
In mathematics and logic, a higher-order logic (abbreviated HOL) is a form of logic that is distinguished from first-order logic by additional quantifiers and, sometimes, stronger semantics. Higher-order logics with their standard semantics are more expressive, but their model-theoretic properties are less well-behaved than those of first-order logic.
The term "higher-order logic" is commonly used to mean higher-order simple predicate logic. Here "simple" indicates that the underlying type theory is the theory of simple types, also called the simple theory of types. Leon Chwistek and Frank P. Ramsey proposed this as a simplification of ramified theory of types specified in the Principia Mathematica by Alfred North Whitehead and Bertrand Russell. Simple types is sometimes also meant to exclude polymorphic and dependent types.[1]

https://mathoverflow.net/questions/190477/higher-order-arithmetic-and-fragments-of-zfc
Higher order arithmetic and fragments of ZFC
Zbierski "Models for Higher Order Arithmetics" (BULL. DE L'ACAD. POLONAISE DES SCIENCES Serie des sciences math., astr. et phys. - Vol. XIX, No. 7, 1971) defines ZFn
as ZFC with the power set axiom limited to n
successive power sets starting from the natural numbers N
. Note this includes the axiom of choice. He proves ZFn
is a conservative extension of n+2
order arithmetic with the axiom scheme of choice.. He notes Gandy had proved already ZF2
is not conservative over 4
th order arithmetic without the axiom scheme of choice.
But what is known about the case where the axiom of choice is also removed from ZF2 ?
Sochor "Constructibility in higher order arithmetics" (Arch. Math. Logic (1993) 32:381-389) shows that n
-th order arithmetic without choice can interpret n
-th order arithmetic with choice.though obviously it is not a conservative extension. So the issue is not equiconsistency. It is conservativity.
asked Dec 11, 2014 at 13:57
Colin McLarty

>>243
カラスの世田は、数セミの記事すら、まともに読解できない（笑）

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数学セミナー　2025年3月
集合論の雑学　無限についてのおはなし　池上大輔
連載　第12回

フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数

１．イントロダクション

学部生時代に後輩が院生の先輩にした質問
「フェルマーの最終定理の証明に
　グロタンディーク宇宙の存在を仮定するらしい
　グロタンディーク宇宙の存在って
　ZFCから導けないと聞いた
　フェルマーの最終定理ってZFCの下で証明できるの？」

先輩の回答
「基礎論やってる池上君に聞けよ」

著者（池上氏）の答え
「わからない・・・」

２．おはなしの前に

質問の答えがＹｅｓかＮｏか考えるには
グロタンディーク宇宙の存在を仮定せずに
フェルマーの最終定理を証明できるかどうか
考える必要があるが
フェルマーの最終定理を精査するだけの
代数学の知識が私にはないので答えられない

ちなみに
フェルマーの最終定理が
ZFCの下で証明できれば
ZFの下でも証明できる
（第８回にて紹介　
　ゲーデルの構成可能宇宙Ｌを用いて
　ZFCでの証明をZFでの証明に書き換えられるため）

（つづく）

>>250
>Colin McLarty has looked into this
>The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) pp. 296--325, doi:10.1017/S1755020319000340, arxiv.org/abs/1102.1773

これ、リンクのarxivは 2014年版だな
30 Apr 2014 COLIN MCLARTY
1. Outline
Finite order arithmetic (Takeuti, 1987, Part II), or simple type theory with infinity, is n-th order arithmetic for all finite n. It deals with numbers, sets of numbers, and sets of those, up through any fixed finite level. Sections 2– 3 develop basic cohomology in any one of several set theories equivalent to this.
Sections 4–5 give a weak notion of a universe U, and a simpler notion of Ucategory than Grothendieck’s (SGA 4 I.1.2), in a theory of classes and collections conservative over set theory. Section 6 proves standard theorems on toposes, derived categories, and fibered categories. This is the weakest possible level for Grothendieck’s tools since a single elementary topos of sets with infinity is already as strong as finite order arithmetic.
Section 7 relates this to proofs of Fermat’s Last Theorem.

つづく

>>254のつづき

（ここが記事の本論）

６．グロタンディーク宇宙の存在と選択公理の違い

（ａ）フェルマーの最終定理が数学的構造（Ｚ、+、×、０，１）において
∀や∃の範囲を整数全体Ｚに制限することで得られる論理式（一階算術の論理式）
で表現できる
（ｂ）一階算術の論理式の真偽がゲーデルの構成可能宇宙Ｌと集合全体Ｖで変わらない
↓
フェルマーの最終定理がZFCの下で証明可能ならばZFの下でも可能

一方、
（ｃ）ZFCからCon(ZFC)は証明できないが
グロタンディーク宇宙の存在からZFCの無矛盾性Con(ZFC)が証明可能
↓
グロタンディーク宇宙の存在を仮定すると、
証明できる一階算術の論理式が真に増えている
↓
グロタンディーク宇宙の存在を仮定した上での証明が
グロタンディーク宇宙の存在を仮定しない場合の証明に
書き換えられるとはいえない

さらに
現在知られている集合論の手法（※）では
ZFCのモデルMから、新しいZFCのモデルNを構成して
MとNの間で一階算術の命題の真偽を変えることはできない
↓
もしリーマン予想がZFCの下で証明も反証もできないとして
そのことを現在の集合論の手法で検証することはできない

※　強制法のことか

つづき

7. A proof of Fermat’s Last Theorem in PA?
We have founded the whole SGA for arbitrary sites, while individual proofs in number theory use only low degree cohomology of sites close to arithmetic.
Detailed bounds may suffice to get existing proofs into n-order arithmetic for relatively low n, as in Section 3.8.4. That might be a good context for such hard logical analysis as Macintyre (2011) begins for FLT.
More work might bound the constructions within a conservative extension of PA (Takeuti, 1978) to show some existing proof of FLT works essentially in PA.
It might help further reduce the proof to Exponential Function Arithmetic (EFA) as conjectured in (Friedman, 2010).
Such estimates are likely to be difficult.
This is no logical end run around serious arithmetic.
Not motivated by concern with logic, Kisin (2009b) extends and simplifies (Wiles, 1995), generally using geometry less than commutative algebra, visibly reducing the demands on set theory. And Kisin (2009a) completes a different proof of FLT by a strategy of Serre advanced by Khare and Wintenberger.

References
Takeuti, G. (1987). Proof Theory. Elsevier Science Ltd, 2nd edition.
(引用終り)
以上

>>256のつづき

蛇足

７．グロタンディーク宇宙とSGA

Colin McLarty,The large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic
では、グロタンディークによる代数幾何の基礎理論の基本文献SGAで行われる議論は、
グロタンディーク宇宙の存在を仮定せずZFCあるいはそれより弱い集合論の公理系で
展開できることを主張し、そのための詳細の議論を述べている。

私（池上氏）には、代数学の知識が足りないため、内容の真偽が検証できないが
SGAに詳しく、興味がある方は、ぜひチャレンジしてみて

池上氏の記事のポイント

１．選択公理は、証明できる一階算術の定理を増やさないが
グロタンディーク宇宙の存在は、証明できる一階算術の定理を増やす

２．現在の集合論の手法では一階算術の定理の範囲を変えることはできない

この程度の要約、サクッと書けない素人が、匂わせ書き込みとかすんな

不快なだけだから

>>255
Finite order arithmetic (Takeuti, 1987, Part II)
>>257
References
Takeuti, G. (1987). Proof Theory. Elsevier Science Ltd, 2nd edition.

竹内 外史先生だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AB%B9%E5%86%85%E5%A4%96%E5%8F%B2
竹内 外史（たけうち がいし、1926年1月25日 - 2017年5月10日）
https://en.wikipedia.org/wiki/Gaisi_Takeuti
Gaisi Takeuti (竹内 外史, Takeuchi, Gaishi; January 25, 1926 – May 10, 2017[1]) was a Japanese mathematician, known for his work in proof theory.[2]
Notes
2 Takeuti 2013.
・Takeuti, Gaisi (2013) [1975]. Proof theory (Second ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-49073-1.

なお>>257より
(google訳)
7. PAにおけるフェルマーの最終定理の証明？
私たちは任意のサイトに対してSGA全体を構築しましたが、数論における個々の証明は、算術に近いサイトの低次コホモロジーしか使用していません。
詳細な評価によって、第3.8.4節のように、既存の証明を比較的低いnに対するn階算術に持ち込むことができるかもしれません。これは、マッキンタイア（2011）がフェルマーの最終定理に対して始めたような、困難な論理分析を行うのに適した文脈となるでしょう。
さらに研究を進めることで、PAの保存的拡大（竹内、1978）の範囲内で構成を限定し、フェルマーの最終定理の既存の証明が本質的にPA内で機能することを示すことができるかもしれません。
これは、フリードマン（2010）で予想されているように、証明を指数関数算術（EFA）にさらに還元するのに役立つ可能性があります。
このような評価は困難である可能性が高いです。
これは、真剣な算術を回避するための論理的な抜け道ではありません。
論理への関心に動機づけられているわけではありませんが、キシン（2009b）は（ワイルズ、1995）を拡張および簡略化し、一般的に可換代数よりも幾何学の使用を少なくすることで、集合論への要求を明らかに軽減しています。また、キシン（2009a）は、カーレとヴィンテンベルガーによって発展させられたセールによる戦略を用いて、フェルマーの最終定理の別の証明を完成させています。
(引用終り)

なので、Colin McLarty 先生も 2014版では 「7. PAにおけるフェルマーの最終定理の証明？」で ？マーク付きだｗ （＾＾
2020版でも 同じかな　；ｐ）

>>252
>「人の思考は 一階論理に縛られない」と思っています　（＾＾
言ってる意味がよく分からないんだけど、「一階でない論理がある」との違いを説明してみて

>でも、私は 高階論者でして
一階が持つ良い性質は要らないと？
分かった上で言ってる？

こいつまだ一階がどうこうが話に関係すると思ってる。
一回述語論理って単語勉強し始めて何か月経ってるんや。いつになったら意味が取れるんや。
せめて自分には理解でいきないくらいはわからんのか？お前の理解やと話しとおらん資料いくらでもあったやろ？それよんで理解の修正ができんのか？
どこまで頭わるいんや。

ともかく単語の日常会話での通常の意味から数学的な意味を推定して終わりを繰り返してるだけやからいつまでたっても理解の間違いを修正できない。
圏論の話も

・グロータンディックって代数幾何で圏論つかった。
・グロータンディックはグロータンディックユニバースを考えた。
∴圏論のためにはグロータンディックユニバースが必要

もうチンパンジーぐらいの知能しか感じない。どこまでアホなんや。手に負えん。

>>260 補足
>7. PAにおけるフェルマーの最終定理の証明？

素数定理の歴史(下記)と対比すると分かり易いだろう
１）素数定理は、ゼータ関数と複素関数論を用いる高等数学による証明だったが
　アトル・セルバーグ[5]とポール・エルデシュ[6]は初等的な証明が得られた（下記）
２）素数の話だから、初等整数論内の証明があっても おかしくは ない
　一方、高等数学による プロ数学者には 見通しのよい証明があってもいい（高等数学がしばしば先行する）
　高等数学による証明と 初等整数論内の証明とは 両立する

なお、”PAにおけるフェルマーの最終定理の証明？”は、まだ？つき・・

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86#%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB2007
素数定理
歴史
ベルンハルト・リーマンによる新たな解析的方法が発表された[3]が、最終的には1896年にシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン（英語版）とジャック・アダマール[4]がそれぞれ独立に証明した。当初与えられた証明はゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグ[5]とポール・エルデシュ[6]は初等的な証明を与えた。
この複素解析学を用いない初等的な証明は当時大きな驚きをもって迎えられた。

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
Prime number theorem
History of the proof of the asymptotic law of prime numbers
Carl Friedrich Gauss considered the same question at age 15 or 16 "in the year 1792 or 1793", according to his own recollection in 1849.[6]
An important paper concerning the distribution of prime numbers was Riemann's 1859 memoir "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", the only paper he ever wrote on the subject. Riemann introduced new ideas into the subject, chiefly that the distribution of prime numbers is intimately connected with the zeros of the analytically extended Riemann zeta function of a complex variable. In particular, it is in this paper that the idea to apply methods of complex analysis to the study of the real function π(x) originates.
Several different proofs of it were found, including the "elementary" proofs of Atle Selberg (1949)[11] and Paul Erdős (1949).[12] Hadamard's and de la Vallée Poussin's original proofs are long and elaborate; later proofs introduced various simplifications through the use of Tauberian theorems but remained difficult to digest. A short proof was discovered in 1980 by the American mathematician Donald J. Newman.[13][14] Newman's proof is arguably the simplest known proof of the theorem, although it is not "elementary" since it uses Cauchy's integral theorem from complex analysis.

>>257
>Not motivated by concern with logic, Kisin (2009b) extends and simplifies (Wiles, 1995), generally using geometry less than commutative algebra, visibly reducing the demands on set theory. And Kisin (2009a) completes a different proof of FLT by a strategy of Serre advanced by Khare and Wintenberger.

下記だね
References
Kisin, M. (2009a). Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations. Inventiones Mathematicae, 178(3):587–634.
Kisin, M. (2009b). Moduli of finite flat group schemes, and modularity. Annals of Mathematics, 170(3):1085–1180.

これを、検索すると(2009a)
https://www.researchgate.net/publication/226552399_Modularity_of_2-adic_Barsotti-Tate_representations
Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations
December 2009Inventiones mathematicae 178(3):587-634
Abstract
We prove a modularity lifting theorem for two dimensional, 2-adic, potentially Barsotti-Tate representations. This proves hypothesis (H) of Khare-Wintenberger, and completes the proof of Serre’s conjecture. The main new ingredient is a classification of connected finite flat group schemes over rings of integers of finite extensions of ℚ2.

(2009b)：こちらはフルテキストが落とせるな
（This provides a more conceptual way of establishing the Shimura-Taniyama-Weil conjecture）
https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v170-n3-p03-p.pdf
Moduli of finite flat group schemes, and modularity By MARK KISIN
Abstract
We prove that, under some mild conditions, a two dimensional p-adic Galois representation which is residually modular and potentially Barsotti-Tate at p is modular.
This provides a more conceptual way of establishing the Shimura-Taniyama-Weil conjecture, especially for elliptic curves which acquire good reduction over a wildly ramified extension of 3.
The main ingredient is a new technique for analyzing flat deformation rings. It involves resolving them by spaces which parametrize finite f lat group scheme models of Galois representations.