つづき

このようにして、ソロヴェイは、ZFC (ツェルメロ-フランケル集合論と選択公理を加えたもの)からの非測定集合の存在の証明において、少なくともアクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提のもとで、選択公理が不可欠であることを示しました。

Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。

Construction
Solovay は、アクセス不可能な基数 κ を含む ZFC の モデルMから始めて、2 つのステップでモデルを構築しました。

最初のステップは、κ 未満のすべての基数を ω に縮約する強制の概念の一般集合Gを追加することにより、 Mのレヴィ縮約 M [ G ]をとることです。すると、 M [ G ] は、順序数の可算列上で定義可能なすべての実数集合がルベーグ可測であり、ベール集合の性質と完全集合の性質を持つという性質を持つ ZFC のモデルになります。(これには、すべての定義可能集合と射影的実数集合が含まれます。ただし、タルスキの定義不可能性定理に関連する理由により、定義可能な実数集合の概念は集合論の言語で定義できませんが、可算な順序数の可算列上で定義可能な実数集合の概念は定義できます。)

第二段階は、M [ G ]内の全ての集合のうち、順序数の可算列上で遺伝的に定義可能なもののクラスとして、ソロヴェイのモデルN を構築することである。モデルNは、ZF + DC を満たすM [ G ]の内部モデルであり、実数の全ての集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。この証明は、M [ G ] 内の全ての実数が順序数の可算列上で定義可能であり、したがってNとM [ G ] は同じ実数を持つという事実を用いる。

SolovayのモデルNを使用する代わりに、同様の特性を持つ実数の構成可能閉包からなる M [ G ]のより小さな内部モデルL ( R )を使用することもできる。

つづく