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背理法の使いどきと複数の文字を含む条件
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第10回 背理法の使いどきと複数の文字を含む条件 20240327
この記事では慣れないと使うのが難しい背理法をどんな場面で使えばよいのか具体例を挙げてまとめていきます。また、複数の文字を含む複雑な条件について考え、「すべての」や「ある」を付けるとどうなるか考察を深めます
目次
1. 背理法の使いどきまとめ
どんなときに背理法を使いたいと考えるかというと、証明する命題を否定したほうが扱いやすく、議論が進めやすいときです。 つまり、扱いやすい・扱いにくいペアを知ることが背理法を考えるヒントになります。これをまとめたのが下の表です

扱いにくい vs 扱いやすい
無理数 vs 有理数
存在しない vs 存在する
無限個存在する vs 有限個のみ存在する
素数 vs 合成数（と1）
互いに素 vs 素数の公約数をもつ
ただ1通りに表される vs 2通りの表し方がある
係数がすべて0（一次独立） vs 0でない係数がある（一次従属）
「PならばQ」型の結論に「または」 vs 「PならばQ」型の仮定に「かつ」

この表の見方は左側の事柄を示したい時に背理法の利用を考えて、右側であると仮定して矛盾を示します
もちろんこれ以外にも問題によって柔軟に考えるべきですが、特に背理法の問題として出題されるならこの表に載っているものが出る可能性が高いです
以下に具体例を載せておくので見てみてください
(引用終り)
以上