>>48-50 補足
(引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)

纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
　の存在ができる
2）一方
　到達不可能な基数の存在を仮定して、
　フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると
　”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる
　（当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない）

かように
採用する”選択公理”の強度によって、証明可能な集合に差が生じるのです　（＾＾
良い子は、これを覚えておこうね　（＾＾