平方剰余の相互法則

平方剰余の相互法則について

250種類の証明があるってマジ？

働け馬鹿者

p, q: 奇素数
K = Q, L = Q(√q)

pZがLで完全分解
⇔ pがO_Lで可約
⇔ x^2 - qがZ/pZ上可約
⇔ (q/p) = 1

これは純粋に環論の性質
一方、

q* = (-1)^(q-1)/2 q
L' = Q(√q*)
C_K: Kのイデール類群

pZがL'で完全分解
⇔ p∈K^×→C_K/N_L'/K(C_L')→Gal(L'/K)の像が1
⇔ p∈F_q^×/(F_q^×)^2
⇔ (p/q) = 1

上と合わせると、

(q*/p) = 1 ⇔ (p/q) = 1

すばらしい

a を有理整数とし、ｐ、ｑを有理素数
とするとき、二次式 x^2-a が
F_p で分解するかどうかと、
F_q で分解するかどうかの間には
どのような関係があるか。
つまり [a/p] と [a/q] の間の関係。
[・／・]はルジャンドル記号。

L = Q(√d)

pが完全分解
⇔ (p) = P1 P2
⇔ ∀x∈O_L, x^p ≡ x (mod Pi)

√d^(p-1) √d = d^(p-1)/2 √d ≡ (d/p) √p (mod Pi)なので

⇔ (d/p) = 1

なるほどなぁ・・・

L = Q(√d)

pが完全分解
⇔ (p) = P1 P2
⇔ ∀x∈O_L, x^p ≡ x (mod Pi)

√d^(p-1) √d = d^(p-1)/2 √d ≡ (d/p) √p (mod Pi)なので

⇔ (d/p) = 1

なるほどなぁ・・・

h(a) := (a/p) (Legendre symbol)
H(a) := Σ h(x)exp(-2πiax/p)

H(ab)
= Σ h(x)exp(-2πiabx/p)
= Σ h(b^(-1)bx)exp(-2πiabx/p)
= h(b^(-1)) Σ h(bx)exp(-2πiabx/p)
= h(b) Σ h(x)exp(-2πiax/p)
= h(b) H(a)

H(a^(-1))
= Σ h(x)exp(-2πia^(-1)x/p)
= Σ h(ax)exp(-2πix/p)
= h(a) H(1)

H(-1)^2 = p*

H(-1)^(q-1) ≡ (p*)^(q-1)/2 ≡ (p*/q) (mod q)

H(-1)^(q+1)
≡ H(-1)^(p-1) H(-1)^2
≡ (p*/q)H(-1)^2
≡ (p*/q)p* (mod q)

H(-1)^q
≡ Σ(x/p) exp(2πiqx/p)
≡ H(-q)
≡ (q/p) H(-1) (mod q)

∴ (p*/q)p* ≡ (q/p)p* (mod q)
∴ (p*/q) ≡ (q/p) (mod q)
∴ (p*/q) = (q/p)

それはガウス和を用いた平方剰余の
相互法則の証明である。
では同じ手口で立方剰余、四乗剰余、
五乗剰余などの高次剰余の法則が
得られるのだろうか。

できらぁ！

ルジャンドル記号のかわりにexp(2πik/n)に値を取る指標を使うのだそうだ

そして、有限アーベル群の指標の代わりに、アデール代数群の既約表現を使うのが保型表現だ

やってみい。

高次冪剰余の法則はどの程度まで
完全に掌握されているのだろうか？
すべて類体論でもって解決済みだ
といえるのだろうか？