>>224
ふっふ、ほっほ
松本雄也 追加引用
「随伴関手」ｗｗｗ　；ｐ）

P66
7.7 随伴関手
定義 7.62 (随伴関手). 圏C,Dの間の関手F: C →DとG: D→C，および2つの関手Cop×D→Setsの間の自然同型
θc,d : HomC(c,G(d)) = HomD(F(c),d)
の3つ組のことをadjunction という．
F をGの左随伴関手 (left adjoint functor) ，
GをF の右随伴関手F (right adjoint functor) といい，
互いに随伴関手 (adjoint functors) であるという．
F ⊢ G， C (略) Dなどと書く．

命題 7.63. C  (略) D のとき，F は余極限を保ち，Gは極限を保つ．
証明. Gが極限を保つ方だけ示す（もう片方は同様（双対的）である）．

系 7.64. アーベル圏の間の関手が左随伴関手（resp. 右随伴関手）をもつならば，左完全（resp. 右完全）である．
証明. 核（resp. 余核）を保つことを示せばよいが，核（resp. 余核）は極限（resp. 余極限）なので命題7.63から従う．

命題 7.65. アーベル圏の間の関手が随伴 C D Gであるとする．
(1) F が完全ならば，Gは入射的対象を保つ．
(2) Gが完全ならば，F は射影的対象を保つ．
証明. (1)のみ示す．I がObj(D)の入射的対象ならば，HomC(−,G(I))=HomD(F(−),I)は完全な関手FとHomD(−,I)の合成なので完全である．

例 7.66. 随伴の例をいくつか挙げる．アーベル圏でないものも含む．
略す

例 7.67. アーベル圏の間の左完全・右完全・完全な関手の例をいくつか挙げる．完全性のいくつかは系7.64で説明がつき，いくつかは直接示せて，残りについては，層化の完全性は系10.4，逆像の完全性は系10.5で示す．前層や層はアーベル群のものとする．
略す