代数学の基本定理は、実は「代数学」の定理ではなく
複素関数論の定理である と個人的には思ってる(下記の通り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
代数学の基本定理とは、「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である
代数学の基本定理は、複素数体は、実数を含む（代数方程式の根を添加して得られる）代数的拡大体として最大のものであることを意味する
このことを体論の言葉では「複素数体は代数的閉体である」 という

証明
複素解析的な証明
複素解析に基づく証明法としては、リウヴィルの定理を用いる方法と、ルーシェの定理を用いる方法が有名であり、大学教育における初等的な複素解析の教科書は代数学の基本定理をこれらの複素解析学の定理を用いて証明するまでを学ぶことを目標としているものが多い
以下にリウヴィルの定理を用いる証明の概略を示す

いま定数ではない任意の複素数係数多項式を f(z) とする。そうして f(z) は複素平面上に零点を持たないと仮定する。そのとき
g(z) = 1/f(z)
は複素平面全体で正則かつ有界になるから、リウヴィルの定理により g(z) は定数である。すると f(z) も定数になるが、これは多項式 f(z) が定数ではないとしたことに矛盾する。従って、定数ではない複素係数多項式 f(z) は複素平面上に少なくとも1つの零点を持つ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ルーシェの定理 (仏: Théorème de Rouché、英: Rouché's theorem)は、フランスの数学者であるEugène Rouché (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。
定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

定理
D を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、∂D をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする）、
K を D の閉包 （= D+∂D ） とし、
f(z) および g(z) をK 上で定数でない正則な複素関数で、
∂D 上で、|f(z)|>|g(z)|
を満たすとすれば、
D 内での f(z)+g(z) と f(z)
の零点の個数 （ただし位数nの零点はn個として数える）は一致する。

応用例
代数学の基本定理の明
f(z)=z^n + an−1z^(n−1)+⋯+a1z+a0
を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、
f(z) が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。
R を正の実数とし、
D={z∣|z|<R} と置く。また、
g(z)=an−1z^(n−1)+⋯+a1z+a0
h(z)=z^n
と置く。
R を十分大きく取れば
∂D 上で
|h(z)|>|g(z)| が成立するので、
D 内における h(z) と
h(z)+g(z) (= f(z) ) の零点の個数は一致し、
h(z) の形から明らかなように、その値は n となる。