つづき

Motivations
今回の極小モデル理論の解析化の動機付けは、主に以下の二つである。
• (特異点). 2次元正規特異点のminimalresolutionの高次元化
• (退化). 半安定極小モデル理論。KulikovのK3曲面の退化の研究の一般化

BCHM以下、BCHMを振り返る。
定理2(BCHM)
定理3(BCHM)

極小モデル理論の解析化
Comments on BCHM
• すでに述べたように、定理2や定理3は非常に多くの応用がある。
• 定理2と定理3はほぼ広中の特異点解消定理と川又–フィーベック消滅定理のみからしたがう。
• 定理2と定理3を複素解析空間の間の射影射に一般化することにはそれほど大きな障害はなさそうに見える。なぜなら、特異点解消定理は複素解析空間に対して証明されているし、複素解析空間の間の射影射に対しては小平型の消滅定理は確立されているから。

Howto set up
BCHMを複素解析化する最大の問題は、どのように定式化するか？である。
以下がその答えである。
設定4
• X, Y: complex analytic spaces
• π: X →Y: projective morphism
• W: Stein compact subset of Y such that Γ(W,OY) is noetherian

Main results
定理5(定理2の解析化)
略

定理6(定理3の解析化)
略

詳しい説明
Stein compact subsets
略

Siu’s theorem
定理15(Siu)
略

Howto formulate analytic MMP
略

まとめと課題
▶ 定式化がちゃんとできれば、BCHMの解析化はいくつかの技術的な点を除けば難しくない。
▶ 極小モデル理論の枠組みの拡張のためには、川又–フィーベック消滅定理より真に強い消滅定理が必要。代数的な場合は混合ホッジ構造をフルに使って必要な消滅定理を確立していたが、複素解析空間に直接的に混合ホッジ構造の理論を使うことはできない。

さらなる一般化
消滅定理定理18（解析）
略
・定理18があると、複素解析空間に対しても対数的標準中心についての基本的なことが示せる。• ・定理18があると、究極的な形の錐体定理や収縮定理が複素解析的な設定で証明できる。
・定理18は、最初、混合ホッジ加群の理論を使って証明された。
・その後、Fujino–Fujisawaで定理18は混合ホッジ加群の理論なしで証明された。

Algebraic vs Analytic
代数多様体と複素多様体の間には大きな差がある。
例19(Serre) 略

アバンダンス予想に関しては以下の結果が現在のところ最良であろう。
定理20(アバンダンス) 略
(引用終り)
以上