要するに、「モデルを１つ特定する」とか気安くいうけど、人間には無理ってことね
できるのは、公理という前提条件によって、モデルの範囲を限定するだけ
そして、対象が無限個ある場合は、モデルを１つに特定できない

また、ゲーデルの不完全性定理によれば、
「ある命題を真とする（自然数論の）モデルが存在する」
なんてことは（自然数論で）証明できない　できるのはただ
「ある命題を真とする（自然数論の）モデルは存在しない」
っていうだけ

ここで
「ある命題を真とする（自然数論の）モデルが存在しないなら、
　その命題の否定が真となる（自然数論の）モデルが存在する」
というかもしれないが、それは人がそう思ってるだけでやっぱり（自然数論で）証明できない

命題Pの証明というのは、
¬Pを真とするモデルの非存在を示すだけであって
Pを真とするモデルの存在を直接示しているわけではない