「対象が有限個しかないとかいうことでない限り、具体的にモデルを特定することはできない」
というのがレーヴェンハイム・スコーレムの定理

つまり、実数の可算モデルは存在するし、自然数の非可算モデルも存在する

モデルを考えるというのは、
「この世界はある特定のモデルである」
というプラトニズム教の宣教
ではないんだけどね