>>597
>「対象が有限個しかないとかいうことでない限り、具体的にモデルを特定することはできない」
>というのがレーヴェンハイム・スコーレムの定理

一階の理論に拘れば・・ だな
１）近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある
２）”高階述語論理と圏論の対応: 高階述語論理における論理的な操作は、圏論の射の合成といった構造と対応させることができます。例えば、集合論を基盤とする高階述語論理は、圏論における集合の圏と関連が深いです”（AI による概要）

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レーヴェンハイム・スコーレムの定理

AI による概要
レーヴェンハイム・スコーレムの定理は、数理論理学の定理で、一階の理論が無限モデルを持つ場合、任意の無限濃度（大きさ）のモデルが存在することを示します。この定理は、一階の理論ではモデルの濃度を制御できず、無限モデルを持つ理論は（同型を除いて）ただ一つのモデルを持つことはないという結論につながります。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム–スコーレムの定理（英: Löwenheim–Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階論理とメタ論理学の成果
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。

歴史と論争
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。

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圏論 高階 論理

AI による概要
圏論は数学的構造を抽象的に扱う分野、高階論理は述語に量化を許す論理体系であり、両者は密接に関連しています。圏論における高階構造や、タイプ理論と論理の対応など、論理学と圏論は互いに影響を与え合っています。

高階述語論理と圏論の対応: 高階述語論理における論理的な操作は、圏論の射の合成といった構造と対応させることができます。例えば、集合論を基盤とする高階述語論理は、圏論における集合の圏と関連が深いです。

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本書の特徴として高階関数論理から出発しており、それをトポスの議論で一般化し著者の考える普遍論理の条件とトポスの関係を最後に考察し締めくくるのだが、これはカリー・ ...