>>898
ご苦労さまです
高校数学の”剰余の定理”という キーワードを思い出した
検索すると 下記で 因数定理 も出てきた・・

で、話を戻すと 分数関数の積分 ∫g(x)/f(x)dx で
一般性を失わずに f(x)がn次モニック（最高次係数が1）な多項式として
f(x)＝0の根を 全て求めて a1,a2,・・・,an として
f(x)＝(x-a1)(x-a2)・・・(x-an)と因数分解ができると
被積分関数 g(x)/f(x)を部分分数展開して 分母を1次式にできる

そうすると g(x)/f(x)の原始関数が 簡単に求まって 積分できるみたいな話しがあって
この視点から f(x)＝0の根を求めることが 非常に重要な数学の課題になったという

そこから
当時の数学者は、複素数の根があるんじゃね？ となり
さらに、係数に複素数が出てくるならば 積分dxも 複素数まで拡張すべし
と ガウスなら考えたに違いない

そして、複素関数論が整備されたあかつきに
代数学の基本定理は、複素関数論の定理の一つとして 軽く導けることになった・・
この証明の道スジは、極めて美しくエレガントに感じる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、英: polynomial remainder theorem）は、多項式 f (x) をモニック多項式な（つまり最高次の係数が1である）二項一次多項式 x − a で割ったときの剰余は f (a) であるという定理。とくに、f (a) = 0 ならば f (x) が x − a を因数にもつことが分かる（因数定理）。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
因数定理（いんすうていり、英: factor theorem）とは、多項式の根から元の多項式を因数分解することができるという定理である。因数定理は剰余の定理の特別の場合になっている[1]。
定理 (Ruffini[要検証 – ノート])
多項式 f(x) が一次式 x − α を因子に持つ必要十分条件は f(α) = 0、すなわち α が多項式 f(x) の根となることである[2]。
概要
多項式の因数分解
→詳細は「多項式の因数分解」を参照
多項式を一次式の積に因数分解するのは、「多項式の根を求めること」と本質的に等価な問題であることが分かる。
多項式の根が1つ求まれば、因数分解により、未知の根からなる多項式は次数は下がるため、根をより求めやすくなる。多項式の全ての根を求める手順は以下の通りである[3]：
略
3.(x − α)g(x) = f(x) となる多項式 g を、実際に f(x) を x − α で多項式として（多項式の長除法（英語版）、組立除法（英語版）などにより）割ることで求める。