n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/k…(2)とおく。
(2)はkが全ての有理数のとき、成否は(y-1)(y^2+y+1)≠3(x^2+x)
と同じとなる。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。