n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)の左辺の左側と、右辺の左側を揃える。
(y-1)=3とおくと、y=4となる。
(2)の左辺の右側と、右辺の右側を揃える。
y=4を、左辺の(y^2+y+1)に代入すると、21となる。
左辺の右側は21、右辺の右側は(x^2+x)なので、
xに有理数を代入しても、21とならない。
3*21=3*21とならない。両辺は等しくならない。
よって、(2)は成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。