nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)の左辺の左側と、右辺の左側を揃える。
(y-1)=nとおくと、y=n+1となる。
(2)の左辺の右側と、右辺の右側を揃える。
y=n+1を、左辺の(y^(n-1)+…+y+1)に代入すると、奇数となる。
左辺の右側は奇数、右辺の右側は((x^(n-1)+…+x)なので、
xに有理数を代入しても、奇数とならない。
n*奇数=n*奇数とならない。両辺は等しくならない。
よって、(2)は成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。