n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(同値式)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/k…(2)とおく。
(2)はk=1,(y-1)=3のとき、(4^2+4+1)=(x^2+x)のxは無理数となる。
x^2=有理数+√A、x=有理数-√A、
21=(有理数+√A+有理数-√A)となるので、
k=2のとき、
21*57/21=(有理数+√A+有理数-√A)*57/21
-√A*57/21=-√B
57=(有理数+√B+有理数-√B)となる。
同様にして、kが増加した場合も、x=有理数-√Cとなる。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。