n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=3x^2+3x+1…(1)とおく。(同値式)
(1)はy=2のとき、8=3x^2+3x+1、x=(-3+√93)/6を代入すると、
8=3{(-3+√93)/6}^2+3{(-3+√93)/6}+1
右辺の有理数部分の和は8、無理数部分の和は0
(1)はy=3のとき、27=[3{(-3+√93)/6}^2+3{(-3+√93)/6}+1]*27/8
右辺の有理数部分の和は27、無理数部分の和は0
yが任意の有理数の場合も同様に計算すると、xは無理数となる。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。