n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(4^2+4+1)=(x^2+x)となるが、成立たない。
(2)を(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/k…(3)とおく。
(2)と(3)で、成否が変われば矛盾する。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。