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y^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
の解について、yによって、
[1]: 全てのxが有理数
[2]: xが有理数とxが無理数のミックス
[3]: 全てのxが無理数
となるのは、わかります。

ただ、(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)が成り立つかどうかは、
(y-1)=3、(y^2+y+1)=(x^2+x)を計算するだけでよい。
と思います。