n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/k…(2)とおく。
(2)はk/k=1なので、(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(3)を解く。
(3)は(y-1)=3のとき、(4^2+4+1)=(x^2+x)とならない。
よって、(2)も成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。