n!が平方数になるnは？

いくつ？

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
= (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2
= (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2

m^2 pq = m^2 x^2 + m^2 y^2

n＝1らしいね。

n=0 もあるなｗ

n>2の場合、nを越えない最大の素数をp とすると、n!=m^2となる整数mが存在するとすれば、mはpを素因数として持つので、n!はp^2を因数としてもつ。
ゆえにn>=2pでなくてはならない。一方、ベルトラン・チェビシェフの定理より、2p ≧ q > p を満たす素数qが必ず存在するので、pがnを越えない最大の素数であるという前提と矛盾する。したがって、n>2において、n!=m^2となる整数mは存在しえない。

おおー

>>4
これ検索したら出たやつだ。
ベルトラン＝チェビシェフて何やねんって諦めた。
その初等的な証明をエルデシュや、最近の人がやっていたと思う。

ベルトラン＝チェビシェフの定理は、ガンマ関数を使うらしいよ。

>>7
定理の証明にね

>>6
途中まで自力で考えて、pと2pの間にたぶん素数があるんだろうって
予想したんだが（ベルトランならぬ俺の仮説ｗ）、証明できそうにないので
ズルして検索したらばっちりベルトランの仮説が引っかかったという次第ｗ

エルデシュが初頭的な証明を考えたらしいが、pが素数だともっと簡単に
証明できんかな？

nが2以上であるとき、
ｎを越えない最大の素数ｐが存在する。
ｐは　n! の素因子としてちょうど1回
しか現れないので　n!が平方数になる
ことはない。

もしp<2p<=nならp^2で割れる
p<2p<=nとならない事を言うのに
ベルトラン・チェビシェフの定理を使う

正直、ベルトラン＝チェビシェフの定理を証明しないと、きちんと証明したことにはならないと思うよ。
エルデシュの証明は短かったかもしれないけど、それ以外の証明はかなり難しそうだった。

かなり見慣れない定理だからね

>>12
じゃお前はすべての定理を集合論の公理から導いてろ

>>14
まあ少し言いすぎたかな、反省はしてる。
ただ、論理の飛躍には注意すべきだとは思う。
よく使う定理は既知のものとして、証明なしで使って良いんだと思う。
ベルトラン＝チェビシェフって何？って、普通の人は思うよ。

>>10が暗黙裡に前提とするくらいには
定理の内容が分かりやすくて
それでいて証明が難しいのなら
道具として打って付けの定理

私は新参で、あまりにも板が荒れてるから、少し過激なことを言ってしまった。
このスレは普通だから、荒らしはしないよ。
私は質問を解いたのに、さっき自演乙って言われたからw

>>16
まあ、意図は分かってるから。
この板には逆張りの人がいたり、延々と一人語りしている人がいるから、疑心暗鬼になっていただけ。
簡単に証明できそうだけど、実は大変だっていう、フェルマーの大定理のようなものだと受けとっておくよ。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10303337310

これに似ていたから、少し言いたくなったのよ。
まあ、攻撃の意図はないから、承知しておいてくれ。

>>9
ここで正直に書いてたのね。
疑ってすまなかったね。
自演スレが多すぎて、憂鬱になっていたから…。

>>10
>ｐは　n! の素因子としてちょうど1回
>しか現れない

n≧2pであれば、2回現れるよ。
だからそれでは証明になってない。
2pとpの間に素数が存在するというベルトランの仮説（実際は定理）
を持ち出さないと駄目なんよ。